Головна

Матричний метод вирішення лінійної системи.

Визначення. матрицю А-1 називають зворотного для матриці А, якщо А-1 А = А А-1 = Е.

З визначення випливає, що матриці А і А-1 квадратні і для них

справедливий переместітельний закон.

Теорема. Якщо А невирождени, то зворотна матриця існує.

Доведення. Обмежимося квадратною матрицею 2-го порядку. Нехай є деяка матриця А =  . нехай detA  0. Нехай є деяка матриця В =  - Невідома нам. І нехай АВ = Е, де Е =  . Тоді після множення зліва по рівності матриць отримуємо систему 4-х рівнянь з чотирма невідомими елементами матриці В:  , Яка фактично розпадається на дві автономні системи, кожна з яких має один і той же визначник, що дорівнює  определителю матриці А і тільки по дві змінні .:  Кожну з цих систем можна вирішити, наприклад, за формулами Крамера і отримати відповідь у вигляді:  в чисельнику кожного дробу записано алгебраїчне доповнення відповідних елементів транспонованою матриці АТ. Доказ закінчено. І з нього випливає алгоритм пошуку А-1 :

1-й крок - обчислювальні detA;

2-й крок - якщо detA не дорівнює нулю, перейдіть до пункту 3, інакше оберненої матриці не існує;

3-й крок - транспонується матрицю А;

4-й крок - для всіх елементів транспонованою матриці випишіть алгебраїчні доповнення;

5-й крок складіть зворотний матрицю з відносин .

Використовуючи зворотний матрицю легко вирішити лінійну систему, якщо вона має єдине рішення. Справді, нехай дана система АХ = В з невироджених матрицею А (т. Е detA  0). Сформуємо матрицю А-1 за вищенаведеним алгоритмом. Тепер помножимо зліва обидві частини рівняння АХ = В на матрицю А-1. отримаємо А-1АХ = А-1 В. Але А-1 А = Е, а ЕХ = Х і тому отримуємо Х = А-1В.

Приклад 1.6. Вирішіть систему

 Ранг основний і розширеної матриці цієї системи дорівнює 2 і тому система має рішення. Базисний мінор системи дорівнює М2 і приведений в прикладі 5. Фактично нам треба буде розв'язати систему  . На цей раз ми вирішимо її, використовуючи зворотний матрицю для останньої системи. Так як матриця останньої системи невирождени (detA = М2), Легко знайти її зворотний матрицю А-1 =  , А тому рішення приймає вид Х = =  . А для вихідної системи Х =  . Відповідь: система має незліченну кількість рішень, які визначаються за формулою для Х.

 



Загальний алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь | Поняття про наближених методах вирішення лінійних систем

Лінійні операції над векторами | Матриці і математичні дії з ними | Визначники та їх властивості | Системи лінійних алгебраїчних рівнянь | формули Крамера | Лінійне, евклидово і нормоване простору. | Лінійні оператори і матриці | Властивості симетричних матриць | Квадратичні форми і їх приведення до канонічного вигляду | векторна алгебра |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати