Головна

Загальний алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь

Визначення. Найбільший з порядків рівних нулю миноров матриці А називають рангом матриці і позначають rankA.

Для пошуку рангу використовують різні методи. Ми використовуємо метод оздоблюють мінорів. Виконаємо реалізацію цього методу на прикладі.

Приклад 1.4. Визначити ранг матриці А =  . Рішення. Т. К. в матриці є елементи ( "визначники" 1-го порядку), не рівні нулю, то робимо висновок:  . розглянемо елемент а11= 1  і записаний в лівому верхньому кутку матриці. Якби там був записаний нуль, то завжди можна переставити місцями паралельні ряди матриці так, щоб на цьому місці був записаний ненульовий елемент.

Тепер випишемо можливі оздоблюють мінори для елемента а11= 1  . Це будуть мінори , , , , ,  . Фактично - ці мінори поставляють "паркан", який огородив даний елемент "прольотами" з частин рядів матриці. Легко бачити, що вже перший з них не дорівнює нулю. Т. Є.  . Значить має бути його облямовувати, тим більше, що він записаний в лівому верхньому кутку. Отримуємо оздоблюють мінори для мінору М2=  . це будуть и  . Легко підрахувати. що обидва вони дорівнюють нулю. Т. К. інших миноров 3-го порядку, що оздоблюють мінор М2, Немає, то робимо висновок:  . При цьому М2 назвемо базисним мінор матриці А.

Визначення. Матрицю А системи (1) називають Основний матрицею системи.

Визначення. Якщо до стовпців основної матриці приписати справа матрицю-стовпець вільних членів, то вийде матриця, яку називають розширена матриця системи.

Так А =  основна, а

А1 =  - Розширена матриці для системи (1).

теорема Кронекера-Капеллі. Для того, щоб система (1) мала рішення (була сумісна), необхідно і достатньо, щоб ранги основної та розширеної матриць були рівні. (Без докази).

На базі цієї теореми побудований алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь (1):

1-й крок - виписуємо основну А і розширену А1 матриці системи;

2-й крок - визначаємо (знаходимо) ранги и ;

3-й крок - якщо =  , То переходимо до кроку 4, інакше робимо висновок, що система не має рішення (несовместна);

4-й крок - виписуємо базисний мінор;

5-й крок - відкидаємо рівняння, коефіцієнти при невідомих у яких не увійшли до базового мінор;

6-й крок - невідомі, чиї коефіцієнти не ввійшли в базисний мінор, оголошуємо вільними (вважаємо відомими величинами) і переносимо в стовпець вільних членів;

7-й крок - вирішуємо залишилася систему, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих і визначником якої є базисний мінор, що не рівний нулю; Метод рішення вибираємо по необхідності, т. К. система має єдине рішення;

8-й крок - записуємо рішення вихідної системи (1).

Приклад 1.5. Вирішіть систему, розширена матриця якої розглянута в прикладі 4, а основна має вигляд А = .

Рішення. В даному випадку пропущені кроки 1,2,3, т. До встановлені ранги основної та розширеної матриць. І ці ранги рівні. Тому на кроці 4 виписуємо готовий базисний мінор М2=  . Тепер записуємо систему, відкинувши третє рівняння і поклавши вільний змінне х3= С:  . Отримуємо рішення цієї системи

Х =  . Його прийнято називати загальним, т. К., вважаючи різні значення С, отримаємо різні рішення системи. Тепер запишемо рішення вихідної системи з розширеною матрицею А1 з прикладу 4:

Х =  . Відповідь: система має незліченну кількість рішень, які визначаються за формулою для Х.

 



формули Крамера | Матричний метод вирішення лінійної системи.

Лінійні операції над векторами | Матриці і математичні дії з ними | Визначники та їх властивості | Системи лінійних алгебраїчних рівнянь | Поняття про наближених методах вирішення лінійних систем | Лінійне, евклидово і нормоване простору. | Лінійні оператори і матриці | Властивості симетричних матриць | Квадратичні форми і їх приведення до канонічного вигляду | векторна алгебра |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати