Головна

Визначники та їх властивості

Визначником квадратної матриці А називають число, символічно позначається в компактному вигляді det (A) або  (А). У розгорнутому вигляді визначник записують так .

Число n називають порядком визначника.

Якщо у визначнику викреслити рядок i і стовпець j, то залишиться визначник порядку n-1. Цей визначник називають мінор елемента aij і позначають Мij .

Якщо мінор Мij помножити на (1)i + j , То отриманий результат називають алгебраїчним доповненням елемента aij. і позначають Аij.

Для обчислення визначника використовують формулу (рекуррентную)  (А) =

Приклад 1. 1. Обчислити визначники

Рішення. Для першого визначника маємо  або

 . Зауважимо, що ми скористалися двома різними схемами, так як схема в визначенні не обмовляється. Результат, звичайно, однаковий.

При обчисленні визначника в другому випадку ми використовуємо виявлений факт. І тому побачимо, що для обчислення зручно використовувати третій стовпець елементів. Причина в тому. що при цьому сума з визначення на першому кроці буде містити тільки один доданок. Справді

= =

=  . З цих прикладів випливає початковий простий алгоритм обчислення визначника:

1-й крок - переглянь ряди визначника і вибери той, в якому багато нулів;

2-й крок - використовуючи визначення, запиши суму для обчислення (розкрій визначник за елементами обраного ряду); отримаєш n визначників порядку n-1 в кожному доданку;

3-й крок - для кожного з отриманих визначників виконай п.п. 1, 2, 3.

Для подальшого спрощення обчислень розглянемо кілька властивостей визначника.

З 1. При заміні рядків визначника відповідними стовпцями (транспонировании) визначник не змінюється.

Для доказу досить уявити факт транспонування і потім розкрити визначник за обраним раніше ряду.

С2. Всі властивості визначника, справедливі для рядків, справедливі і для стовпців.

С3. При перестановці двох паралельних рядів місцями визначник змінить знак.

Для доказу, не порушуючи спільності, виконаємо вказане з визначником 2-го порядку. Легко бачити це властивість справедливо. Для довільного визначника досить підрахувати кількість змін знаків при перестановці сусідніх рядів.

С4. Визначник з нульовим поруч дорівнює нулю.

Для доказу досить розкрити визначник по нульовому ряду, використовуючи визначення.

С5. Визначник, у якого два паралельних ряди рівні, дорівнює нулю.

Для доказу переставимо місцями рівні ряди. Тоді по С3 визначник змінить знак. Але він при цьому не зміниться. Таке можливо тільки якщо він дорівнює нулю.

С6. У визначнику, у якого елементи ряду мають загальний множник, цей множник можна винести за знак визначника.

Якщо розкрити визначник за вказаною ряду, то цей множник можна буде винести за знак суми. Потім решту суми легко розгорнути в визначник, в якому загальний множник буде винесено за знак визначника.

Приклад 1.2.

 = 2 =  = 4 *  = -8 * 11 = -88.

Відзначимо, що після першого знака рівності був винесений множник тільки з 1-го рядка. З другого шпальти винести нічого при цьому не можна, тому що а12 вже став рівним 1. Далі за визначенням був розкритий визначник по 1-му рядку. Після чого в отриманому визначнику 2-го порядку можна винести множник 2 з 2-го стовпця. При цьому знак доданка встановлений усно в усіх випадках.

С7. Визначник, у якого елементи двох паралельних рядів відповідно пропорційні, дорівнює нулю.

Досить з одного з пропорційних рядів винести загальний множник і в останньому визначнику виявиться два рівних ряду. Далі дивись С5.

С8. Якщо всі елементи деякого ряду уявити як суму двох доданків, то визначник дорівнюватиме сумі двох визначників, у яких замість ряду-суми будуть стояти ряди доданків з сум. Решта ряди будуть однакові.

Для доказу досить розкрити визначник по ряду, що складається з суми диух доданків. Потім отриману за визначенням суму уявити як суму двох доданків, кожне з яких є відповідний визначник.

С9. Якщо до деякого ряду поелементно додати паралельний ряд, помножений на деяке число, то визначник не зміниться.

Доказ випливає з С8 і С7.

С10. Сума добутків елементів ряду на алгебраїчні доповнення паралельного ряду дорівнює нулю.

При складанні алгебраїчних доповнень елементів паралельного ряду самі елементи в роботі не беруть участь. Значить замість них можна взяти що завгодно, навіть і нулі (або елементи ряду, по якому виробляють розкриття визначника). У будь-якому випадку (по С4 або С5) визначник дорівнюватиме нулю.

С11. Можна рекомендувати обчислювати визначник 2-го порядку за правилом - твір елементів головної діагоналі мінус твір елементів побічної діагоналі.

Зазначені властивості зручно використовувати при обчисленні, аналізуючи склад елементів. Більш практичним є прийом "виготовлення" нулів, використовуючи зазначені властивості. В останньому випадку дотримуються алгоритму:

- Проаналізуйте елементи на наявність числа (1 або -1 або іншого невеликого числа);

- Нехай є 1 в рядку k і стовпці s;

- Складаємо новий визначник, у якого рядок k взята з вихідного визначника;

- Послідовно множимо всі елементи рядка k на деякі множники і поелементно складаємо з паралельними рядками так, щоб в стовпці s у всіх рядках (крім рядка k) утворилися нулі;

- Розкриваємо визначник за елементами стовпчика s (тому що в ньому тільки один елемент aks відмінний від нуля).

Увага! Рядок k в процесі роботи не змінюється, як всякий інструмент, на вістрі якого розташований робочий елемент aks.

Приклад 1.3. Обчисліть визначник

Пояснимо виконане. Перший рядок помножена на -1 і складена поелементно з іншими. Тепер розкриваємо визначник по 1-му стовпчику. Після чого з 2-го рядка можна винести множник (y-x), з 3-ої рядка (z-x) і з 4-й винести (t-x). Отримуємо в результаті

(Y-x) (z-x) (t-x)  Якщо тепер 2-й рядок помножити на -1 і скласти поелементно з іншими то отримаємо

 = (Y-x) (z-x) (t-x)  Якщо тепер розкрити визначник по 2-му стовпцю, а потім винести з 2-го рядка множник (z-y) і з 3-го рядка множник (t-y), то отримаємо

(Y-x) (z-x) (t-x) (z-y) (t-y)  = (Y-x) (z-x) (t-x) (z-y) (t-y) (t-z). Іншими прийомами обчислення результату в такому простому вигляді практично не реалізовується. А застосовується цей визначник Ван-дер-Монд дуже широко.

Відзначимо, що для обчислення визначників 3-го порядку викорис-товують приватне правило "трикутників", не застосовується в загальному випадку.

Визначення. Квадратну матрицю, визначник якої не дорівнює нулю, називають невироджених.

1 В іншому випадку матрицю називають вироджених

 



Матриці і математичні дії з ними | Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Лінійні операції над векторами | формули Крамера | Загальний алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь | Матричний метод вирішення лінійної системи. | Поняття про наближених методах вирішення лінійних систем | Лінійне, евклидово і нормоване простору. | Лінійні оператори і матриці | Властивості симетричних матриць | Квадратичні форми і їх приведення до канонічного вигляду | векторна алгебра |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати