Завдання для самостійної роботи. | старші похідні | Завдання для самостійної роботи. | диференціал функції | Диференціювання складних функцій | Диференціювання неявних функцій | Завдання для самостійної роботи | Похідна за напрямком. Градієнт. | Завдання для самостійної роботи. | Формула Тейлора для функцій двох змінних |

загрузка...
загрузка...
На головну

Екстремум функцій багатьох змінних

  1. IX. Резюме основних виконавців проекту. Опис їхніх функцій в рамках проекту.
  2. А тепер відповімо на головне питання, яке хвилює дуже багатьох людей: а чи можна схуднути швидко?
  3. А) Приватна похідна ф-ції кількох змінних. б) Приватний і повний диференціали.
  4. Абсолютна і умовна збіжність. Достатній ознака збіжності знакозмінних рядів.
  5. Апроксимація функцій розподілу випадкових похибок
  6. Апроксимації функцій, ЗАДАНИХ табличній
  7. Б) Випадок двох незалежних змінних

Для функції багатьох змінних терміни «максимум функції» і «мінімум функції» мають таке ж значення, що і для функції однієї змінної, а саме: цими термінами позначаються найбільше або відповідно найменше значення функції в точці  в порівнянні зі значеннями функції в точках, сусідніх з  . Дамо суворе визначення.

Визначення. нехай функція  визначена в області  . Крапка  називається точкою максимуму функції (відповідно, мінімуму), якщо існує така околиця  точки  , Що для всіх  виконується нерівність

.

тут

, ,

Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму.

теорема 1. (Необхідні умови екстремуму). нехай функція  визначена в деякій околиці точки  . якщо  - Точка екстремуму функції  і функція диференційована в цій точці, то

 (1)

Точки, в яких мають місце рівності (1), називаються стаціонарними.

Диференціюється функція може і не мати екстремуму в стаціонарній точці. Інакше кажучи, необхідні умови екстремуму, дані в теоремі 1, не є умовами, достатніми для наявності екстремуму у функції в точці  . Це підтверджує наступний приклад.

приклад 1. Переконатися, що функція  не має екстремуму в стаціонарній точці.

Рішення. Знайдемо стаціонарні точки функції. Для цього спочатку підрахуємо приватні похідні:

.

Прирівняємо приватні похідні до нуля:

 при .

Отже, знайдена стаціонарна точка  . значення функції  в точці  дорівнює нулю. Але в як завгодно малій околиці точки  функція приймає як позитивні, так і негативні значення. Дійсно, якщо  , то  , якщо ж  , то  . Отже, в стаціонарній точці  функція  екстремуму не має. Поверхня, яка визначається рівнянням  - Гіперболічний параболоїд - має в околиці початку координат седлообразную форму.O

Щоб встановити, чи дійсно розглянута функція  має в стаціонарній точці  екстремум, природно звернутися до розгляду різниці  . Якщо для всіх точок  з деякою околиці точки  справедливо нерівність  , То в точці  - За визначенням - функція  має мінімум (максимум).

розкладемо різницю  за формулою Тейлора із залишковим членом у формі Пеано, обмежуючись двома складовою частиною. Природно при цьому припустити, що функція  двічі диференційовна в околі точки  . Так як точка  передбачається стаціонарної, то  . Значить, яка цікавить нас різниця запишеться у вигляді

,

Таким чином, знак збільшення  збігається зі знаком другого диференціала функції в точці : .

Другий диференціал функції  в точці  - це квадратична форма від змінних , :

 (2)

Від властивостей квадратичної форми залежить, чи зберігає різницю  певний знак в деякій околиці точки  , Інакше, чи має функція екстремум в точці .

Нагадаємо відповідні визначення.

визначення. квадратична форма

,  (3)

називається позитивно (негативно) певною, якщо (  ) Для будь-якої точки , .

Якщо квадратична форма позитивно (негативно) визначена, то вона називається знакоопределенной.

квадратична форма  називається знаконеопределенной (знакозмінної), якщо и  такі, що  , а .

Теорема 2. (Достатні умови екстремуму). нехай функція  визначена і має безперервні похідні 2-го порядку в деякій околиці точки  , а  є стаціонарною точкою функції. І нехай квадратична форма (2) від змінних  є позитивно певної (негативно певної). тоді

и  є точкою мінімуму (відповідно максимуму). Якщо ж квадратична форма (2) є знакозмінної, То різниця  Ніколи не зберігати знак в околиці точки  - Екстремуму немає.

Як з'ясувати, чи буде квадратична форма (3) знакоопределенной? Відповідь на це питання дає теорема

Критерій Сильвестра.Для того, щоб квадратична форма (3) з матрицею  (У якій  ) Була позитивно певної, необхідно і достатньо, щоб кутові мінори матриці  були позитивними:

, .

Для того, щоб квадратична форма була негативно певної, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувалися, починаючи з негативного, тобто , .

Для функцій двох змінних матриця відповідної квадратичної форми (2) має вигляд (похідні беруться в точці  ):

Сформулюємо достатні умови екстремуму для функції .

теорема 3. Якщо в стаціонарній точці  виконується нерівність

 , (4)

то функція  має в  екстремум, а саме:

мінімум, коли  ; максимум, коли .

Приклад 2. Знайти екстремуми функції .

Рішення. Знайдемо стаціонарні точки, прирівнюючи нулю приватні похідні: ;  . Отримали стаціонарну точку  , В якій функція може мати екстремум.

З'ясуємо, чи дійсно є екстремум в стаціонарній точці  , Для чого звернемося до достатніх умов.

Обчислимо другі похідні , ,  і складемо матрицю

.

Нерівність (4) виконується:  , Значить, дана функція має на початку координат екстремум, а саме, мінімум так як  . обчислимо  . Поверхня, яка визначається рівнянням  - Це параболоїд обертання з вершиною в точці (0,0,1). O

Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію .

Рішення. Підрахуємо приватні похідні ,

Прирівнюємо похідні нулю (необхідна умова екстремуму):

Отримали єдину стаціонарну точку  - Точку можливого екстремуму. Щоб з'ясувати, чи дійсно є екстремум в точці  , Звернемося до достатніх умов. Для цього підрахуємо

, ,

і складемо матрицю  . Знаходимо її кутові мінори:

,

В силу достатньої умови в точці  задана функція має максимум. знаходимо  .O

приклад 4. Дослідити на екстремум функцію .

Рішення. Знайдемо приватні похідні і прирівняємо їх до нуля (необхідна умова екстремуму)

.

Отримали дві стаціонарні точки .

Перевіримо достатні умови екстремуму для стаціонарної точки  . Для цього підрахуємо другі похідні

, ,

Складаємо для точки  матрицю  і знаходимо кутові мінори: ,  . В силу достатньої умови в точці  є мінімум. знаходимо .

Перевіримо, чи є екстремум в стаціонарній точці  . підрахуємо

, , .

Складаємо для точки  матрицю  і знаходимо її кутові мінори: ,  . Достатня умова екстремуму не виконана - в точці  задана функція екстремуму НЕ імеет.O

приклад 4. Переконатися, що функція  в точці  має максимум. Знайти максимальне значення функції.

Рішення. Перевіримо спочатку, чи є точка  стаціонарної для заданої функції. Для цього підрахуємо приватні похідні в точці :

Рівність нулю похідних в точці  переконує нас, що це дійсно стаціонарна точка. Чи є стаціонарна точка  точкою екстремуму? Щоб скористатися достатніми умовами екстремуму, підрахуємо

,

,

складемо матрицю  . Її кутові мінори ,  , Тому в точці  є екстремум, а саме, максимум. знайдемо

 . O

 



Завдання для самостійної роботи | Завдання для самостійної роботи
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати