Приватні похідні | Завдання для самостійної роботи. | старші похідні | Завдання для самостійної роботи. | диференціал функції | Похідна за напрямком. Градієнт. | Завдання для самостійної роботи. | Формула Тейлора для функцій двох змінних | Завдання для самостійної роботи | Екстремум функцій багатьох змінних |

загрузка...
загрузка...
На головну

Диференціювання неявних функцій

  1. IX. Резюме основних виконавців проекту. Опис їхніх функцій в рамках проекту.
  2. Апроксимація функцій розподілу випадкових похибок
  3. Апроксимації функцій, ЗАДАНИХ табличній
  4. Взаємозв'язок функцій та рівнів управління
  5. Зростання і спадання функцій.
  6. Виразність поразок органів мішеней і ступінь порушень їх функцій

рівняння

 (1)

пов'язує координати точок на площині, задаючи тим самим неявну функцію  . Знайти цю функцію явно з рівняння (1), взагалі кажучи, не можна. але похідну  неявній функції  можна визначити, продифференцировав тотожність  по змінній .

Приклад 1.. Знайти похідну функції  , Заданої неявно рівнянням

.

Рішення. нехай  - Функція, що визначається неявно заданих рівнянням, тобто має місце тотожність .

Продифференцируем це тотожність по змінної :

.

Звідси знаходимо похідну :

 . O

Якщо приватні похідні  функції  існують і  , То похідна  неявній функції  визначається зі співвідношення

.

отримуємо формулу

 . (2).

приклад 1а. Знайдемо іншим методом похідну функції  , Заданої неявно рівнянням  (Приклад 1).

Рішення. Підрахуємо приватні похідні

,

За формулою (2) отримуємо похідну неявної функції :

(за умови  ). O

приклад 2. знайти и  функції  , Заданої неявно рівнянням

.

Рішення. Підрахуємо приватні похідні  функції :

,

.

Відповідно до формули (2) запишемо ,  . Продовжуємо диференціювати по змінної  , Не забуваючи, що :

.

Залишається підставити вже знайдену похідну :

,  . O

рівняння  пов'язує координати точок в тривимірному просторі і задає неявну функцію  . Як і вище, не завжди можна знайти саму функцію  , Але можна знайти її приватні похідні ,  , Продифференцировав тотожність  по змінним и :

.

З отриманих співвідношень знаходимо

,  , (3)

Природно, при цьому передбачається, що приватні похідні  функції  існують і .

приклад 3. Знайти приватні похідні першого і другого порядків функції  , Заданої неявно співвідношенням .

Рішення. Підрахуємо приватні похідні функції :

, , .

Відповідно до формулами (3) запишемо

, ,

Продовжуючи диференціювати, отримаємо (з урахуванням знайдених ,  ):

.

Природно, вважаємо  . O

приклад 4. Знайти приватні похідні функції  , Заданої рівнянням

.

Рішення. Можна не користуватися готовими формулами (3), а (див. Приклад 1) підставити передбачуване рішення рівняння - функцію  в заданий співвідношення і потім диференціювати отримане тотожність.

диференціюючи тотожність  по :

диференціюючи по :

Обидва рівності коректні, якщо  . O

Розглянемо випадок, коли функції  задані неявно системою рівнянь

 (4)

функції  і їх приватні похідні ми припускаємо безперервними в деякій області. Крім того, припускаємо, що якобіан

Покажемо, як отримати приватні похідні неявних функцій .

нехай  - Саме ті функції, які визначені системою (4). Підставляючи ці функції в рівняння (4), отримаємо тотожності

 . (5)

Диференціюючи ці тотожності по змінної  , Отримаємо систему лінійних рівнянь щодо невідомих :

 (6)

Продифференцируем тотожності (5) по змінній :

 (7)

Отримали систему лінійних рівнянь щодо невідомих .

За умовою, визначник систем (6) і (7)  . В силу теореми Крамера кожна з цих систем має єдине рішення.

Приклад 5.Знайти приватні похідні функцій  , Заданих неявно системою рівнянь

Рішення. записуємо тотожності

 . (8)

Диференціюючи кожне тотожність (8) по змінній :

Обчислимо визначник системи (якобіан  ):

.

Припускаємо, що .

далі обчислюємо

Залишається за формулами Крамера знайти

.

Тепер диференціюючи кожне тотожність (8) по змінній :

знаходимо

Нарешті, знаходимо

 . O

якщо функції  двічі мають похідні, то можна знаходити другі похідні неявних функцій  , Диференціюючи тотожності (6) і (7).

Приклад 6.Знайти перші і другі похідні функцій  , Заданих неявно системою рівнянь .

Рішення. записуємо тотожності

 . (*)

Диференціюючи кожне з них спочатку по

Отриману систему щодо невідомих  можна спростити за допомогою першого з заданих рівнянь, звідки  . тоді

 (9)

Диференціюючи тотожності (*) по :

Друге із заданих рівнянь дає  , Що дозволяє записати систему щодо невідомих  у вигляді:

 (10)

Продовжуючи диференціювати, знаходимо

 . O

Уміння обчислювати похідні неявно заданих функцій стане в нагоді при вивченні теми «Заміна змінних».

 



Диференціювання складних функцій | Завдання для самостійної роботи
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати