Приватні похідні | Завдання для самостійної роботи. | старші похідні | Завдання для самостійної роботи. | Завдання для самостійної роботи | Похідна за напрямком. Градієнт. | Завдання для самостійної роботи. | Формула Тейлора для функцій двох змінних | Завдання для самостійної роботи | Екстремум функцій багатьох змінних |

загрузка...
загрузка...
На головну

Диференціювання складних функцій

  1. IX. Резюме основних виконавців проекту. Опис їхніх функцій в рамках проекту.
  2. Апроксимація функцій розподілу випадкових похибок
  3. Апроксимації функцій, ЗАДАНИХ табличній
  4. Взаємозв'язок функцій та рівнів управління
  5. Види накопичень. Антисипативному і декурсівних нарахування складних відсотків.
  6. Водень і кисень в більшості складних речовин мають постійні ступеня окислення, але є винятки.

нехай функція  диференційована в точці и  - Диференціюються в точці  . Тоді складна функція  також диференційована в точці  і її похідна обчислюється за правилом

 (1)

для функції  , Що залежить від трьох змінних, формула (1) набуває вигляду

 (2)

приклад 1. знайти похідну  функції  , Якщо аргументи  в свою чергу залежать від : .

Рішення. Перший спосіб.Відповідно до формули (1) запишемо

.

підрахуємо и  . значить,

.

другий спосіб. Можна було відразу записати складну функцію  , Що залежить від однієї змінної:  . Диференціюючи її:

 O.

нехай функція  диференційована в точці  , А функції ,  діфференцируєми в точці  . Тоді складна функція двох змінних  теж дифференцируема в точці  і її приватні похідні визначаються за правилами

 (3)

Зі збільшенням кількості проміжних змінних  в формулах (3) з'являються додаткові складові. Зі збільшенням кількості внутрішніх змінних  нижче додаються відповідні похідні.

приклад 2. Знайти приватні похідні и  функції  , якщо

.

Рішення. Задана складна функція  . Відповідно до формулами (3) запишемо

підрахуємо похідні

значить,

Можна було відразу записати складну функцію, залежну від двох змінних  і диференціювати її. O

Приклад 3. знайти и  функції .

Рішення. Позначимо проміжні змінні .

Підрахуємо приватні похідні функції  за формулами (3):

 (4)

Переходимо до обчислення других похідних. Зауважимо, що функції и  залежать від тих же проміжних змінних :

.

Тому вони диференціюються за тими ж правилами, що і задана функція  , Тобто їх приватні похідні знаходяться за формулами (3):

 (5)

диференціюючи похідні  (4). З урахуванням отриманих співвідношень (5) отримуємо:

.

Тут прийнято, що  - Двічі диференційована функція і  . O

Приклад 4. знайти и  функції .

Рішення. Можна, як в попередньому прикладі, ввести позначення проміжних змінних. Але ми просто їх пронумеруємо:  - Перша змінна,  - Друга змінна і позначимо и  - Приватні похідні функції  по першій і другій проміжним змінним відповідно. У цих позначеннях відповідно формулами (3) запишемо:

,

.

Продовжуємо диференціювання:

Тут прийнято, що  - Двічі диференційована функція і  . O



диференціал функції | Диференціювання неявних функцій
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати