На головну

Рівняння руху тіла змінної маси

  1. A) Рівняння швидкості незворотних екзо- і ендотермічних реакцій
  2. I-е рівняння Максвелла
  3. I. Закони взаємодії і руху тіл. (26 годин)
  4. II-е рівняння Максвелла
  5. III-e рівняння Максвелла
  6. IV рівняння Максвелла

Є багато випадків, коли маса тіла змінюється в процесі руху за рахунок безперервного відділення або приєднання речовини (ракета, реактивний літак, автомобіль для поливання вулиці).

Наше завдання: знайти рівняння руху такого тіла. Вирішення цього питання покажемо на прикладі ракети. Принцип дії ракети полягає в наступному. Ракета з великою швидкістю викидає речовину (продукти згоряння), впливаючи на нього з великою силою. Викидається речовина з такою ж, але протилежно спрямованої силою в свою чергу діє на ракету і повідомляє їй прискорення в протилежному напрямку.

Нехай в момент часу t маса ракети m, А її швидкість  . Через деякий час dt її маса зменшилася на dm і стала рівною m - dm, А швидкість стала рівною  . Зміна імпульсу системи за час dt одно

 , (6.9)

де  - Швидкість вильоту газів щодо ракети. Розкриємо дужки в цьому рівнянні, отримаємо

 . (6.10)

Так як на ракету діють зовнішні сили  (Сила тяжіння, сила опору повітря), то згідно з (3.3)

 або  . (6.11)

величина  називається реактивної силою. Це сила, з якою діють на ракету вилітають гази.

тоді

 (6.12)

- рівняння руху тіла зі змінною масою (Рівняння Мещерського).

Отриманої формулою можна скористатися для розрахунку залежності швидкості ракети від маси згорілого палива. Будемо вважати, що зовнішні сили рівні 0, тобто рух відбувається тільки під дією реактивної сили:

 . (6.13)

Якщо ракета рухається прямолінійно, то .

Значення постійної інтегрування С визначимо з початкових умов. Нехай в початковий момент часу швидкість ракети дорівнює 0, а маса дорівнює  . Звідси З = u lnm0. отже,

 . (6.14)

Цей вислів називається формулою Ціолковського. Вона показує, що при даній швидкості вильоту газів швидкість ракети визначається тільки відношенням початкової маси  ракети до залишилася масі m.

6.5. Закон збереження енергії
 системи матеріальних точок (тіл)

При розгляді закону збереження енергії матеріальної точки передбачалося, що матеріальна точка рухається в стаціонарному силовому полі. Силове поле, в якому рухається матеріальна частинка, виникає завдяки наявності інших тіл. Щоб силове поле було стаціонарним - не що залежить від часу, тіла, що створюють це поле повинні бути нерухомі. Таким чином, розглянутий закон збереження повної механічної енергії відноситься до випадку: одна матеріальна точка (тіло) рухається, а решта - спочивають.

 Сформулюємо закон збереження повної механічної енергії в загальному випадку, коли є кілька рухомих матеріальних точок (тіл) - система тіл (матеріальних точок).

Розглянемо замкнуту систему з n тел, між якими діють лише консервативні сили (рис. 6.3).

Під дією цих сил тіла всередині системи переміщаються, змінюється їх швидкість і положення, тобто змінюються кінетична і потенційна енергії кожного тіла і системи в цілому.

Запишемо другий закон Ньютона для кожного тіла:

 (6.15)

Під дією сил тіла системи здійснюють переміщення  . Помножимо кожне рівняння на відповідне переміщення. Враховуючи що  , отримаємо

Склавши ці рівняння, отримаємо

,

або

 (6.16)

Перший член лівої частини рівності

 , (6.17)

де  - Приріст кінетичної енергії системи. другий член  - Елементарна робота, здійснена тілами системи.

Так як для кожної матеріальної точки системи  , то  , де  - Приріст потенційної енергії системи матеріальних точок, то  звідки

 . (6.18)

Вираз (6.18) являє собою закон збереження механічної енергії: повна механічна енергія замкнутої системи, в якій діють лише консервативні сили, зберігається, тобто не змінюється з часом. Може відбуватися лише перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад, причому приріст однієї з них в точності так само убутку інший.

сформулюємо закон зміни повної механічної енергії системи. Нехай система матеріальних точок (тіл) не є замкнутим. На матеріальні точки крім внутрішніх консервативних сил, діють будь-які інші сили, які будемо називати сторонніми. Віднесемо до стороннім силам все зовнішні сили (сили з боку тіл не входять в систему), а також всі дисипативні сили (сили тертя, сили опору), як внутрішні, так і зовнішні. Таким чином, сторонніми силами будемо називати всі сили, крім внутрішніх консервативних сил.

Якщо система матеріальних точок перейшла з довільного початкового положення 1 в довільне кінцеве положення 2, То відповідно до теореми про кінетичної енергії, робота всіх прикладених до матеріальних точок сил дорівнює приросту їх кінетичних енергій. І отже, робота всіх сил діючих на систему і всередині системи дорівнює приросту кінетичної енергії системи матеріальних точок:  , де и  - Кінетична енергія системи матеріальних точок в кінцевому і початковому стані відповідно.

Уявімо роботу  як суму роботи  консервативних внутрішніх сил і роботи  всіх сторонніх сил:  . Врахуємо властивість потенційної енергії системи, згідно з яким робота консервативних сил дорівнює убутку потенційної енергії: .

Так як  , з іншого боку  , то  . Прирівнявши вирази, отримаємо  , де Е2 и Е1 - Повна механічна енергія системи матеріальних точок в положеннях 2 и 1 відповідно.

Таким чином, робота сторонніх сил  при переході системи матеріальних точок (тіл) з довільного початкового положення в довільне кінцеве положення дорівнює приросту повної механічної енергії системи:

 . (6.19)

Якщо в замкнутій системі крім консервативних сил діють ще дисипативні сили, наприклад, сила тертя, то повна механічна енергія не зберігається (частина механічної енергії перетворюється в тепло). У цьому випадку виконується загальнофізичної закон збереження енергії: енергія ніколи не створюється і не знищується, вона може тільки переходити з однієї форми в іншу.

За допомогою законів збереження імпульсу і енергії досліджуємо рух стикаються тел.

6.6. Абсолютно пружний удар

ударом називається будь короткочасне взаємодія тіл, результатом якого є значна зміна швидкості їх руху.

З ударом ми зустрічаємося не тільки в макросвіті (тобто світі великих тіл), а й у світі атомних, ядерних і елементарних частинок.

Рух стикаються тел (як і будь-яка інша задача про рух тіл) може бути досліджено за допомогою законів Ньютона. Однак для цього потрібно було б знати, які сили виникають при зіткненні тіл і як вони змінюються в процесі зіткнення. Але якщо нас цікавлять не деталі процесу зіткнення, а лише кінцевий результат його, то таке повне дослідження за допомогою законів Ньютона стає непотрібним. Так як два стикаються тіла, на які не діють сили з боку інших тіл, представляють собою замкнуту систему, то до них можна застосувати закон збереження імпульсу, а в багатьох випадках - і закон збереження енергії. Знаючи рух тіл до зіткнення, і застосовуючи закони збереження, можна визначити рух тіл після зіткнення. Моделлю для подібних завдань може служити задача про зіткненні куль. будемо розглядати центральний удар куль - Це удар, при якому центримас куль лежать на одній прямій. При цьому кулі можуть рухатися назустріч один одному або перший шар може наздоганяти другий.

Розрізняють абсолютно пружний і абсолютно непружний удари.

Абсолютно пружний удар - Це удар, при якому механічна енергія системи соударяющихся тіл не перетворюється в інші види енергії.

Нехай обидві кулі рухаються уздовж осі x (Рис. 6.4). Швидкості куль з масами m1 и m2 до удару и  , Після удару и .

Мал. 6.4

Проекції векторів швидкості на вісь x рівні модулів швидкостей. У момент удару кулі деформуються (стискаються). В обох кулях виникають пружні сили, які прагнуть відновити форму кулі. Ці сили можуть призвести до затримки першої кулі і прискорюють рух другого. Так як удар абсолютно пружний, кулі повністю відновлюють свою форму, потім розходяться і рухаються вже зі швидкостями, відмінними від швидкостей до удару. При зіткненні в тілах виникають такі значні сили, що зовнішніми силами, що діють на них, можна знехтувати і вважати, що кулі утворюють замкнену систему. Застосуємо до куль закон збереження енергії і закон збереження імпульсу.

Згідно із законом збереження кінетичної енергії

 . (6.20)

Закон збереження імпульсу (в проекціях на вісь x):

 . (6.21)

Переносимо в обох равенствах члени з m1 вліво, з m2 - Вправо:

 (6.22)

звідки

 . (6.23)

Вирішуючи спільно (45) і (46), знаходимо швидкості куль після удару:

 ; (6.24)

 . (6.25)

Проаналізуємо результат. Розглянемо окремі випадки.

1. Зіткнення однакових куль (рис. 6.5):

.

Вирази (6.24) і (6.25) мають вигляд:

,

тобто кулі рівної маси обмінюються швидкостями.

Мал. 6.5

2. Одна куля до удару спочиває:

.

Вирази (6.24) і (6.25) мають вигляд:

 (6.26)

Поведінка куль залежить від співвідношення мас:

а) m1 > m2. Перша куля продовжує рухатися в тому ж напрямку, як і до удару, але з меншою швидкістю (u1 <  ) (Рис. 6.6). Другий шар починає рухатися в тому ж напрямку.

Мал. 6.6

б) m12. Після удару напрямок руху першої кулі зміниться - куля відскакує назад (рис. 6.7). Другий шар рухається в ту сторону, в яку рухався першу кулю до удару.

Мал. 6.7

Чим більше різниця в масах, тим меншу енергію передає малий куля великим. при m1<< m2u2 = 0. Наприклад, при абсолютно пружному ударі електрона з атомом електрон повністю зберігає кінетичну енергію.

в) m1 = m2. Після удару зупиниться перший шар, а другий буде рухатися з тією ж швидкістю і в тому ж напрямку, в якому рухався першу кулю до удару (рис. 6.8).

Мал. 6.8

Таким чином, при абсолютно пружному ударі загальна кінетична енергія тіл зберігається, але розподіляється між ними в залежності від їх мас і швидкостей.



Рух центру мас | Абсолютно непружних удар

Робота сили. потужність | Робота гравітаційної сили не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла відносно іншого тіла. | Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим і кінцевим положенням щодо інших тіл, називаються консервативними. | Потенціальна енергія | Вирази (4.22) і (4.23) визначають зв'язок роботи консервативних сил зі зміною потенційної енергії поля (в інтегральної та диференціальної формах відповідно). | Зв'язок між потенційною енергією і силою | Закон збереження повної механічної енергії | Момент інерції твердого тіла | момент сили | момент імпульсу |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати