Рисбайули Б. | Сплайн 1-го порядку (кусочно-лінійна інтерполяція). | Сплайн 2-го порядку S (x). | З останньої системи визначаються | Фільтрація рідини і газу | Невласний інтеграл з нескінченними межами | Постановка задачі. | Математична модель задачі. | Постановка задачі. | Математична модель. |

загрузка...
загрузка...
На головну

Наближене обчислення певного інтеграла

У цьому пункті розглядаються способи наближеного обчислення визначених інтегралів

Введемо на [а, в] рівномірну сітку з кроком h, тобто безлічі точок

і представимо інтеграл у вигляді суми інтегралів по приватним відрізках:

Для побудови формули чисельного інтегрування на всьому відрізку [а, в] досить побудувати квадратичну формулу для  на приватному відрізку [хi-1, хi].

2.1. Формула прямокутників. Замінимо інтеграл Si виразом  Геометричний така заміна означає, що площа криволінійної трапеції АВСД замінюється площею прямокутника АВС1Д1 (Див. Рис. 3).

Мал. 3

Тоді отримаємо формулу

 (26)

яка називається формулою прямокутників на частковому відрізку [хi-1, хi].

Похибка методу (26) визначається величиною

яку легко оцінити за допомогою формули Тейлора. Дійсно, запишемо ?i у вигляді

і скористаємося розкладанням

позначаючи  оцінимо ?i наступним чином:

Таким чином, для похибки формули прямокутників на частковому відрізку справедлива формула

тобто формула має похибку О (h3) При h > 0.

Підсумовуючи рівності (26) за I від 1 до N, отримаємо складову формулу прямокутників

Похибка цієї формули

Звідси, позначаючи  отримаємо

тобто похибка формули прямокутників на всьому відрізку є величина О (h2). У цьому випадку говорять, що квадратурная формула має другий порядок точності.

визначення. наближене рівність

.

Називається квадратурной формулою.

2.2. Формула трапеції. На частковому відрізку (хi-1, xi) Площа криволінійної трапеції АВСД замінюється площею прямокутної трапеції АВСД (рис. 4).

Мал. 4

тоді

Для оцінки похибки

Уявімо його у вигляді

Звідси отримаємо

Складова формула трапеції має вигляд

Похибка цієї формули оцінюється наступним чином:

Таким чином, формула трапеції має вигляд, так само як і формула прямокутників, другий порядок точності,  але її похибка оцінюється величиною в два рази більшою.

Застосування формули трапеції або прямокутників вимагає оцінки другої похідної  на відрізку [а, в]. Якщо така оцінка скрутна (або взагалі неможливо, наприклад, в разі функції визначаються дослідним шляхом), то в припущень малого зміни (або монотонності) другої похідної  можна у всіх отриманих оцінках замінити множника М2h2 найбільшою величиною

Звідси видно, що формула прямокутників і трапеції дає достатню точність тільки при досить малих різницях другого порядку ?2Уk (А саме, коли твори  вищими за допустимої похибки розрахунку).

Для уточнення величини інтеграла можна використовувати, то обставина, що зі зменшенням кроку h в два рази похибка формули трапецій зменшується приблизно в чотири рази. Звідси випливає, що збігаються знаки в значеннях інтеграла, обчислених з кроком h і  можна вважати вірним. Дійсно, якщо похибка значення інтеграла, обчисленого з кроком  позначити через ?, то похибка значення інтеграла, обчисленого з кроком h, буде наближено дорівнює 4?, і значить, різниця зазначених значень інтеграла буде не менше ніж 3?. Тому зі збігу m десяткових знаків у розглянутих значень інтеграла можна зробити висновок, що похибка  , А це означає, що в значень інтеграла обчисленому з кроком  , Усе m десяткових знаків вірні (тут передбачається, що похибка вихідних даних дуже малий).

2.3. Формула Сімпсона. При апроксимації інтеграла  замінюємо функцію f (x) параболою, що проходить через точки (xI, f (xI)), I = i-1, i-0,5, i, тобто представимо наближено f (x) у вигляді

тоді

 (27)

обчислимо

З (27) отримаємо, що

Таким чином, приходимо до наближеного рівності

яке називається формулою Сімпсона.

Похибка цієї формули ?i оцінюється так [1]:

На всьому відрізку [a, в] формула Сімпсона має вигляд

Похибка цієї формули оцінюється нерівністю:

З цієї оцінки видно, що зі зменшенням кроку h в два рази похибка формули Сімпсона зменшується приблизно в 16 разів; тому значення інтеграла, обчислене з кроком  містить на один вірний знак більше, ніж значення інтеграла, обчислене з кроком h. Це правило на практиці дуже зручно при оцінці точності інтеграла.

Завдання 2.1. Між двома паралельними скидами и  знаходиться нафтова поклад В (рис.5) за межами якої розташовані нескінченно простягаєш водоносна область. Стрілками показаний приплив води з законтурне області. Ширина поклади в = 1000м, товщина пласта h = 15м, проникність водоносної області k = 0,2 · 10-12м2, В'язкість законтурне води  Упругоемкості ? як нафтової, так і водоносної частин однакові, причому ? = 2,5 · 10-10 па-1, В'язкість нафти ?н = 2МПа · С.

Мал. 5

Відбір рідини з поклади змінюється в часі таким чином

де  - Час введення родовища в розробку. Потрібно визначити зміна тиску на контурі нафтоносності  , Тобто в порівнянні з початковим тиском після початку розробки поклади.

Рішення. На початку визначимо пьезопроводності пласта за формулою

Для розрахунку зміни в часі тиску на контурі нафтового покладу використовуючи апроксимацію Карслоу і Єгері [2] маємо:

Даний інтеграл обчислення одним з методів: метод прямокутників, трапеції або Сімпсона.



Змінні і структурна схема розрахунку. | Структурна схема розрахунку.
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати