ВИМІРЮВАЛЬНИЙ ПРОЦЕС | ЕТАЛОНИ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН | ПЕРЕДАЧА РОЗМІРУ В КХА |

загрузка...
загрузка...
На головну

Похибки непрямих вимірювань

При непрямих вимірах ФВ не вимірюються безпосередньо якимось
 або СІ, а розраховується на основі вимірювання інших ФВ.
 У цьому випадку постає завдання обчислення похибки непрямих
 вимірювань за умови, що похибки величин, отриманих з прямих вимірювань, відомі.

Нехай при непрямих вимірах значення деякої величини Y
 знаходять за формулою Y= f(X1, X2, ...,Xm), Де X1, X2, ...,Xm- Деякі незалежні величини. Для визначення незалежних величин X1, X2, ...,Xm були виконані серії по n прямих незалежних вимірювань для кожної.

Середнє значення Yср шуканої величини Y знаходять за допомогою функціональної залежності f(X1, X2, ...,Xm), В яку підставляють середні значення незалежних змінних X1,cp, X2,cp, ...,Xm,cp^

Yср = f(X1,cp, X2,cp, ...,Xm,cp).

Будемо шукати абсолютну похибку ?Yср шуканої величини Y через похибки виміряних величин, ?X2,cp, ..., ? Xm,cp.

Якщо за допомогою відомої функціональної залежності Y= f(X1, X2, ...,Xm) Обчислити значення шуканої величини Y при значеннях вимірюваних величин X1, X2, ...,Xm, Що відрізняються від середніх значень X1,cp, X2,cp, ...,Xm,cp на ?X1,cp, ?X2,cp, ..., ? Xm,cp відповідно (X1= X1,cp ± ?X1; X2= X2,cp ± ?X2; ...; Xm= Xm,cp ± ?Xm), То розраховане таким чином значення Y буде відрізнятися від середнього значення Yср на деяку величину ± ?Y:

Yср = F (X1= X1,cp ± ?X1; X2= X2,cp ± ?X2; ...; Xm= Xm,cp ± ?Xm).

Функцію в правій частині представимо у вигляді розкладання в ряд, розуміючи, що ?Xi<< XI,cp:

де  - Приватна похідна функції f(X1,cp, X2,cp, ...,Xm,cp) по Xi.

Беручи, що Yср = f(X1,cp, X2,cp, ...,Xm,cp), Отримаємо:

Пам'ятаючи, що для будь-якої нормально розподіленої випадкової величини середнє відхилення від істинного значення (при великому числі вимірювань n > ?) дорівнює нулю, визначимо середній квадрат відхилення ?Yср2. Для цього зведемо в квадрат ліву і праву частини рівняння і
 усереднити по числу вимірювань (по серії вимірювань). Враховуючи що
 середнє значення відхилень ?Xi. від середнього значення Хi,ср за кількістю вимірювань  , В правій частині будуть тільки
 квадратичні по ?Xi складові:

Тоді випадкова похибка (довірчий інтервал) серії
 непрямих вимірювань величини Y буде дорівнює

або коротше

Якщо функція = f(X1, X2, ...,Xm) «Незручна» для диференціювання, отриманий вираз для ?Yср можна записати інакше, скориставшись властивостями диференціювання логарифма. Розглянемо логарифм функціональної залежності = f(X1,cp, X2,cp, ...,Xm,cp)

ln = f(X1,cp, X2,cp, ...,Xm,cp).

За правилом обчислення похідної логарифма можна показати, що

Враховуючи що Yср = f(X1,cp, X2,cp, ...,Xm,cp), Отримаємо

отже

Використовуючи цей взаємозв'язок між похідною від функції і похідною від її логарифма, отримане раніше вираз для похибки ?Yср можна записати у вигляді:

або коротше

Обидві формули справедливі при будь-яких законах розподілу величин
X1, X2, ...,Xm. Необхідно тільки щоб ці величини були не-
 залежними.

Для визначення відносної похибки непрямих вимірювань рекомендується наступна послідовність:

1. Прологаріфміровать розрахункову формулу.

2. Знайти від логарифма повний диференціал.

3. Згрупувати всі члени, що містять однаковий диференціал (якщо такі члени є), і вирази в дужках, що стоять перед диференціалом, взяти по модулю.

4. Знак диференціала d замінити на знак помилки ?.

5. Вибрати знаки так, щоб відносна помилка була максимальною.

Приклад. Визначити абсолютну і відносну похибки непрямого вимірювання коефіцієнта в'язкості касторової олії при температурі 25,5 ° С, визначеного методом Стокса. Величина коефіцієнта в'язкості в цьому випадку визначається формулою:

де r - Радіус кульки, g - Прискорення вільного падіння, ? - щільність свинцю, ?о - Щільність касторової олії, l - Відстань пройдене кулькою, t - Час руху кульки.

В результаті вимірювань отримують середні значення:

l = 0,75 м, виміряний з точністю до 0,005 м.

r = 2,0 · 10-3 м, виміряний з точністю до 0,1 · 10-4 м.

t = 5,96 с, виміряний з точністю до 0,01 с.

? - ?о = 10320 кг / м3 , Виміряний з точністю до 0,5 кг / м3.

g = 9,8 м / с2, Виміряний з точністю до 0,05 м / с2.

Обробка результатів вимірювань:

1. Визначимо коефіцієнт ? в'язкості

2. логарифмуючи формулу:

3. Диференціюючи отриманий вираз:

4. Замінюємо знак диференціала d на знак збільшення ? і знаходимо максимальну відносну похибку:

Так як ?? = ??0

Підставляючи чисельні значення, отримаємо:

У відсотках відносна похибка становить:

Максимально можлива абсолютна похибка у визначенні ? дорівнює:

результат вимірювань:

 



ПОХИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ | ТА СУДОВИХ ЕКСПЕРТИЗ 1 сторінка
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати