імовірність події | Класична ймовірність | геометрична ймовірність | | Теорема додавання ймовірностей | Теорема 3.4. | Формула повної ймовірності | Формула Байєса | Формула Бернуллі | Властивості потоку подій |

загрузка...
загрузка...
На головну

теорема Лапласа

  1. А.3. Висновок теореми Гаусса в диференціальної формі
  2. Алгебри. спосіб мінімізації - тотожності і теореми булевої алгебри.
  3. Нескінченно велика функція. Нескінченно малі функції. Визначення та основні теореми.
  4. Питання. Поняття теореми Ляпунова.
  5. Завдання до теми 2 «Основні теореми теорії ймовірностей».
  6. Закон Біо-Савара-Лапласа. Індукція магнітного поля котушки, соленоїда, прямого провідника з Струм
  7. Критерій Лапласа.

Вище ми розглянули формулу Бернуллі, яка дозволяє знаходити ймовірність появи події в  випробуваннях  раз. Цю формулу зручно використовувати в тих випадках, коли число випробувань  невелика. Якщо ж, наприклад, треба знайти P50(30), то в цьому випадку стикаємося з обчисленням  . Але навіть не всі сучасні калькулятори можуть обчислити це значення. При використанні стандартного запису числа доводиться робити округлення, відкидаючи значущі цифри, що призводить в процесі обчислень до накопичення похибок.

Природно виникає питання: чи не можна обчислити, що цікавить нас ймовірність, не вдаючись до формули Бернуллі? Виявляється можна. Локальна теорема Лапласа дає асимптотичну формулу, яка дозволяє наближено знайти ймовірність появи події рівно k раз в n випробуваннях, якщо число випробувань досить велике.

Зауважимо, що для окремого випадку, а саме для p= 1/2, асимптотична формула була знайдена в 1730 р Муавром; в 1783 р Лаплас узагальнив формулу Муавра для довільного p, Відмінного від 0 і 1. Тому теорему, про яку тут ідеться іноді називають теоремою Муавра - Лапласа.

Ми наведемо лише формулювання цієї теореми, опускаючи її доказ.

Теорема 5.1 (локальна теорема Лапласа).

якщо ймовірність p появи події A в кожному випробуванні постійно і відрізняється від нуля і одиниці, то ймовірність Pn(k) Того, що подія A з'явиться в n випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше n):

 , де  . (5.2)

функція  називається малої функцій Лапласа. Значення функції j (x), Відповідні позитивного значення аргументу  , Визначається з відповідної таблиці. Для від'ємних значень аргументу користуються тією ж таблицею, так як j (x) Парна функція, тобто .

Знову припустимо, що виробляється  випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події  постійна і дорівнює  . Як обчислити вірогідність  того, що подія  з'явиться в n випробуваннях не менше  і не більше  раз (для стислості будемо говорити «від  до  раз »)? На це питання відповідає інтегральна теорема Лапласа, яку ми наводимо, опустивши доказ.

Теорема 5.2 (інтегральна теорема Лапласа).

якщо ймовірність  появи події  в кожному випробуванні постійно і відрізняється від нуля і одиниці, то ймовірність  того, що подія  з'явиться в n випробуваннях від  до  раз, приблизно дорівнює:

 , де  . (5.3)

функція  називається функцій Лапласа. Значення функції F (x), Відповідні позитивного значення аргументу и  , Визначається з відповідної таблиці. Для від'ємних значень аргументу можна користуватися тією ж таблицею, так як F (x) Непарна функція, тобто  . У таблиці наводяться значення лише до  . при  можна прийняти .

Зауваження. Локальної і інтегральної теоремами Лапласа на практиці зручно користуватися в разі, якщо npq> 10. Якщо ж npq<10, то ці формули призводять до великих погрішностей.

Приклад 5.2. Імовірність появи події A в кожному з 900 незалежних випробувань дорівнює p= 0,8. Знайти ймовірність того, що подія A відбудеться:

а) 750 разів;

б) не менше 710 разів і не більше 740 разів.

Рішення. а) З умови випливає, що n= 900, k= 750, p= 0,8, тому q= 0,2. оскільки npq= 900 ? 0,8 ? 0,2 = 144> 10, то можна скористатися локальної теоремою Лапласа.

знаходимо x:

.

По таблиці значень функції знаходимо j (2,5) = 0,0175.

Згідно локальної теореми Лапласа отримуємо шукану ймовірність:

.

б) З умови випливає, що n= 900, k1= 710, k2= 740, p= 0,8, тому q= 0,2. знаходимо x1 и x2:

;

.

По таблиці значень функції Лапласа, враховуючи непарність функції, визначаємо

F (x1) = F (-0,83) = - 0,2967;

F (x2) = F (1,67) = 0,4525.

Згідно інтегральної теореми Лапласа отримуємо шукану ймовірність:

.

,

 



Рішення. | Формула Пуассона
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати