імовірність події | Класична ймовірність | геометрична ймовірність | | Формула Байєса | Формула Бернуллі | Рішення. | теорема Лапласа | Формула Пуассона | Властивості потоку подій |

загрузка...
загрузка...
На головну

Теорема 3.4.

  1. Дискретизація безперервного повідомлення. Теорема Котельникова. Переваги дискретної форми.
  2. Друга теорема Теорії подвійності
  3. ІІ теорема Теорії подвійності.
  4. Карно теоремаси.
  5. Кінематична енергія тіла в обертальному русі. Момент інерції тіла. Теорема Штейнера. Енергія котиться тіла.
  6. Кронекер-Капеллі теоремаси.
  7. Лаплас жіктеуі (теоремаси).

 . (3.4)

 . (3.5)

Сформулюємо теорему множення ймовірностей, прийнявши її без доведення.

Теорема 3.5 (теорема множення ймовірностей).

Можливість спільного настання двох подій (ймовірність добутку двох подій) дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого за умови, що перше вже відбулося.

 . (3.6)

Приклад 3.2. З урни, в якій m чорних і n білих куль, витягають дві кулі. Чому дорівнює ймовірність того, що:

а) обидві кулі білих;

б) кулі різного кольору.

Рішення. а) Нехай A1 - Подія, яка полягає в тому, що перший шар білий, A2 - Подія, яка полягає в тому, що друга куля білий. тоді

.

б) Нехай A1B2 - Подія, яка полягає в тому, що перший шар білий, а другий - чорний, B1A2 - Подія, яка полягає в тому, першу кулю чорний, а другий - білий. тоді

,

Теорему множення ймовірностей легко поширити на випадок, коли подій більше двох.

Слідство. Можливість спільного появи кількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожного наступного події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з'явилися:

,

де  - Ймовірність події An, Обчислена в припущенні, що події A1, A2, ..., An-1 настали.

Зокрема для трьох подій будемо мати: .

Зауважимо, що порядок, в якому розташовані події, може бути обраний будь-яким. Байдуже, яка подія вважати першим, другим і т.д.

Визначення 3.1. Дві події називаються незалежними, Якщо ймовірність однієї з них не залежить від появи або не поява іншого, тобто

 або .

Дві події називаються залежними, Якщо ймовірність появи одного з них залежить від настання або ненастання іншої події.

Теорема множення ймовірностей, яка була доведена вище, розглядалася для залежних подій. Сформулюємо теорему множення ймовірностей (без доведення) для незалежних подій.

Теорема 3.6. Можливість спільного появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

 . (3.7)

Приклад 3.3. Студент може виїхати в університет або автобусом, який ходить через кожні 20 хв, або маршрутним таксі, яке ходить через кожні 10 хв. Яка ймовірність того, що студент, який підійшов до зупинки, поїде протягом найближчих п'яти хвилин?

Рішення. нехай A - Подія, що полягає в тому, що студент, який підійшов до зупинки, поїде протягом найближчих п'яти хвилин. подія A буде складатися з двох спільних подій: A1 - Подія, яка полягає в тому, що студент протягом п'яти хвилин поїде автобусом; A2 - Подія, яка полягає в тому, що студент протягом п'яти хвилин поїде маршрутним таксі. Спільність цих подій полягає в тому, що до зупинки одночасно може підійти як автобус, так і маршрутне таксі. Але ці події незалежні. Тому по т.3.2. і по т.3.6. маємо

.

,

Нехай в результаті випробування може з'явитися n подій незалежних в сукупності, або деякі з них (зокрема, тільки одне або жодного), причому ймовірності появи кожного з подій відомі. Як знайти ймовірність того, що настане хоча б одне з цих подій? Наприклад, якщо в результаті випробування можуть з'явитися три події, то поява хоча б одного з цих подій означає наступ або одного, або двох, або трьох подій. Відповідь на поставлене запитання дає наступна теорема, яку приймемо без доведення.

Теорема 3.7. Імовірність появи хоча б однієї з подій A1, A2, ..., An, Незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій :

.

Приклад 3.4. (Умова прикладу 3.1.) На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому 5 з них в палітурці. Бібліотекар бере навмання 3 підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з взятих підручників виявиться в палітурці;

Рішення. 1) Нехай A - Подія, що полягає в тому, що хоча б один з трьох відібраних підручників буде в палітурці. Розглянемо протилежну подію  - Полягає в тому, що жоден з трьох узятих підручників не буде в палітурці. події A и  утворюють повну групу подій. значить,  . тоді

.

,

Приклад 3.5. Ймовірності попадання в ціль при стрільбі з трьох гармат такі: p1= 0,8, p2= 0,7, p3= 0,9. Знайти ймовірність:

а) тільки одного влучення при одному пострілі з усіх гармат;

б) хоча б одного влучення при одному пострілі з усіх гармат.

Рішення. а) Нехай A - Подія, яка полягає в тому, що при одному пострілі з усіх гармат було тільки одне влучення. Ймовірність влучення в ціль кожним із знарядь не залежить від результатів стрільби з інших знарядь. подія A можливо при появі одного з попарно несумісних подій A1, або A2, або A3.

A1 - Подія, яка полягає в тому, що сталося попадання в ціль першим знаряддям, тобто перше знаряддя потрапило, друге і третє - немає, значить, ;

A2 - Подія, яка полягає в тому, що сталося попадання в ціль другим знаряддям, тобто другої гармати попало, а перше і третє - немає, ;

A3 - Подія, яка полягає в тому, що сталося попадання в ціль третім знаряддям, тобто Третя гармата попало, а перше і друге - немає, .

Таким чином, отримуємо .

події B1, B2, B3 незалежні. Використовуючи теореми додавання і множення ймовірностей, отримуємо:

,

де q1, q2, q3 - Відповідні ймовірності промаху кожним знаряддям.

б) Нехай C - Подія, яка полягає в тому, що при одному пострілі з усіх гармат було хоча б одне влучення. Розглянь протилежне подія  , Що складається в тому, що при одному пострілі не було жодного попадання, тобто  . події C и  утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці. Отже, отримуємо

.

,

Теореми додавання і множення ймовірностей широко використовуються при розрахунку ймовірності безвідмовної роботи або ймовірності розриву електричного кола, якщо дані, наприклад, ймовірності відмови кожного вузла, що входить в електричну схему. Як відомо, з'єднання приладів в електричному ланцюзі можливо двома способами: паралельним або послідовним.

4. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ВЕРОЯНОСТІ.

ФОРМУЛА Байєса

 



Теорема додавання ймовірностей | Формула повної ймовірності
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати