Головна |
Теорема 3.1. Імовірність появи одного з двох несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
. (3.1)
Доведення. Введемо позначення:
n - Загальне число можливих елементарних фіналів випробування;
m1 - Число випадків, що сприяють події A;
m2 - Число випадків, що сприяють події B.
Число елементарних фіналів, що сприяють настанню або події A, Або події B, так само m1+m2. отже,
.
Взявши до уваги, що и , Остаточно отримуємо
.
,
Слідство. Імовірність появи одного з декількох попарно несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
.
Теорема 3.2. Імовірність появи хоча б одного з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільного появи
. (3.2)
Дану теорему приймемо без доведення.
Теорема 3.3. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:
. (3.3.)
Доведення. Протилежні події утворюють повну групу, а сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.
,
Приклад 3.1. На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому 5 з них в палітурці. Бібліотекар бере навмання 3 підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б два підручника виявиться в палітурці;
Рішення. 1) Нехай A - Подія, що полягає в тому, що хоча б два підручника з трьох відібраних буде в палітурці. подія A буде складатися з двох несумісних подій: A1 - Подія, яка полягає в тому, що з трьох відібраних підручників два в палітурці, а один - немає; A2 - Подія, яка полягає в тому, що з трьох відібраних підручників все три в палітурці. тоді .
оскільки події A1 и A2 несумісні, то по т. 3.1. отримуємо
.
ймовірності подій A1 и A1 знаходимо, використовуючи класичне визначення ймовірностей.
.
,
імовірність події | Класична ймовірність | геометрична ймовірність | Формула повної ймовірності | Формула Байєса | Формула Бернуллі | Рішення. | теорема Лапласа | Формула Пуассона | Властивості потоку подій |