Ряди Тейлора, Маклорена для функцій | Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Маклорена | Додатки статечних рядів | Статечної ряд. Теорема Абеля. Радіус збіжності степеневого ряду. 425 | Лекція 14. Степеневі ряди. | Лекція 26. Степеневі ряди. | Теореми Абеля. | | | |

загрузка...
загрузка...
На головну

Визначення статечного ряду. теорема Абеля

  1. I. Визначення проблеми
  2. I. Визначення проблеми і цілей дослідження
  3. I. Створення ініціалів і визначення стажу роботи
  4. Quot; Отже, в самій загальній формі можна дати таке визначення релігії: релігія є впізнання Бога і переживання зв'язку з Богом ".
  5. V. ВИЗНАЧЕННЯ ВАРТОСТІ БУДІВНИЦТВА В СКЛАДІ передпроектні проробок
  6. V. Визначення коефіцієнта пористості і ступінь вологості глинистого грунту
  7. VII. Визначення щільності ґрунту в сухому стані

статечні ряди

ВИЩА МАТЕМАТИКА

статечні ряди

зміст

1. Визначення статечного ряду. теорема Абеля

2. Властивості статечних рядів

3. Ряди Тейлора, Маклорена для функцій

4. Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Маклорена

5. Додатки статечних рядів

Визначення статечного ряду. теорема Абеля

Статечні ряди є окремим випадком функціональних рядів.

визначення 1.1. статечним рядом називається функціональний ряд вигляду  . (1.1)

тут  - Постійні дійсні числа, звані коефіцієнтами статечного ряду; а - деяке постійне число, х - змінна, що приймає значення з безлічі дійсних чисел.

при  статечної ряд (1.1) набуває вигляду

 . (1.2)

Статечної ряд (1.1) називають поруч за ступенями різниці  , Ряд (1.2) - поруч за ступенями х.

Якщо змінної х надати будь-яке значення, то статечної ряд (1.1) (або (1.2)) перетворюється в числовий ряд, який може сходитися чи розходитися.

визначення 1.2. Областю збіжності степеневого ряду називається безліч тих значень х, при яких статечної ряд сходиться.

Ряд (1.1) за допомогою підстановки  приводиться до простішого вигляду (1.2), тому спочатку розглядатимемо статечні ряди виду (1.2).

Для знаходження області збіжності статечного ряду важливу роль відіграє наступна теорема.

Теорема 1.1 (теорема Абеля):

якщо статечної ряд (1.2) сходиться при  , То він абсолютно сходиться при всіх значеннях х, що задовольняють нерівності  ; якщо ж ряд (1.2) розходиться при  , То він розходиться при всіх значеннях х, що задовольняють нерівності .

Теорема Абеля дає чітке уявлення про структуру області збіжності степеневого ряду.

Теорема 1.2:

область збіжності степеневого ряду (1.2) збігається з одним з наступних інтервалів:

1)  ; 2)  ; 3)  ; 4) ,

де R - деяке невід'ємне дійсне число або .

Число R називається радіусом збіжності, інтервал - інтервалом збіжності статечного ряду (1.2).

якщо  , То інтервал збіжності являє собою всю числову вісь .

якщо  , То інтервал збіжності вироджується в точку .

зауваження: якщо  - Інтервал збіжності для статечного ряду (1.2), то  - Інтервал збіжності для статечного ряду (1.1).

З теореми 1.2 випливає, що для практичного знаходження області збіжності степеневого ряду (1.2) досить знайти його радіус збіжності R і з'ясувати питання про збіжність цього ряду на кінцях інтервалу збіжності  , Т. Е. При и .

Радіус збіжності R статечного ряду можна знайти по одній з наступних формул:

формула Даламбера:

 ; (1.3)

формула Коші:

 . (1.4)

Якщо у формулі Коші  , То вважають  , якщо  , То вважають .

Приклад 1.1.Знайти радіус збіжності, інтервал збіжності і область збіжності степеневого ряду .

Рішення

Знайдемо радіус збіжності даного ряду за формулою

У нашому випадку

, .

тоді .

Отже, інтервал збіжності даного ряду має вигляд .

Досліджуємо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності.

при  статечної ряд перетворюється в числовий ряд

.

який розходиться як гармонійний ряд.

при  статечної ряд перетворюється в числовий ряд

.

Це - Знакозмінні ряд, члени якого зменшуються за абсолютною величиною і  . Отже, за ознакою Лейбніца цей числовий ряд сходиться.

Таким чином, проміжок  - Область збіжності даного статечного ряду.

 



Загальна пристрої двигунів ». | Властивості степеневих рядів
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати