Головна

II3 Серед будь-яких трьох точок прямої існує не більше однієї точки, що лежить між двома іншими

  1. A) проект розділу Балкан між Росією і Австрією
  2. C. Невичітаемий ПДВ - це ПДВ, що підлягає сплаті покупцем, який не вираховується з його власного зобов'язання по ПДВ, якщо воно існує.
  3. C. Порівняння міжнародних рахунків і рахунків решти світу в СНР
  4. Зв`язок між невизначеністю, ризиком і вартістю інформації: перші вимірювання
  5. D. Функціональні категорії в міжнародних рахунках
  6. I8 Існує, принаймні чотири точки, що не лежать в одній площині.
  7. II ПРЯМИЙ ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИЙ ЕФЕКТ

За Гильберту над відрізком Ав (ВА) розуміється пара точок А і В. Точки А і В називаються кінцями відрізка, а будь-яка точка лежить між точками А і В називається внутрішньою точкою відрізка Ав (ВА).

ЗАУВАЖЕННЯ: Але з II1II3 поки не слід, що у будь-якого відрізка є внутрішні точки, але з II2,? що у відрізка є зовнішні точки.

II4 (аксіома Паша) Нехай А, В, С - три точки, що не лежать на одній прямій, а - пряма в площині АВС, тривка ні через одну з точок А, в, с. Тоді якщо пряма, а проходить через точку відрізка АВ, то вона проходить також через точку відрізка АС або ВС.

Сл.1: Хоч би якими були точки А і С, існує принаймні одна точка D на прямій АС, що лежить між А і С.

Док-во: I3? $ т. Е не лежить на прямій АС

 Ч Е Р Т Е Ж

, II2? $ F, що А-Е-F, II2? $ G: F-C-G. т.GIFC. за II4 пряма ЕG повинна перетнути або АС або FС, але FС, вона не перетинає, значить АС?D лежить між А і С. ч. т. д.

F
Сл.2. Якщо С лежить на відрізку АТ і В між А і С, то В лежить між А і Д, а З між У і Д.

Тепер можна довести два твердження

Сл3 затвердження II4 має місце і в разі, якщо точки А, В і С лежать на одній прямій.

І найцікавіше.

Сл.4. Між будь-якими двома точками прямої існує нескінченна безліч інших її точок (самост.).

Однак не можна встановити, що безліч точок прямої незліченну.

Аксіоми I і II груп дозволяють ввести такі важливі поняття як напівплощина, промінь, полупространство і кут. Спочатку доведемо теорему.

Тh1. Пряма а, що лежить в площині a, розділяє безліч точок цієї площини, які не лежать на прямій а, на два непустих підмножини так, що якщо т. А і В належать одній підмножині, то відрізок АВ не має спільних точок з прямою а; якщо ж ці точки належать різним підмножини, то відрізок АВ має спільну точку з прямою а.

Ідея: вводиться відношення, а саме, т. А і В Iа знаходяться в отношеніі?, якщо відрізок АВ не має спільних точок з прямою а або ці точки співпадають. Потім розглядалося безлічі класів еквівалентності по відношенню ?. Доводиться, що їх тільки два за допомогою нескладних міркувань.

Опр1 Кожне з підмножин точок, що визначаються попередньої теоремою називається напівплощиною з граніцай а.

Аналогічно можна ввести поняття променя і півпростору.

промінь-h, А прямая- .

Опр2 Кут - це пара променів h і k, що виходять з однієї т. Про і не лежать на одній прямій. т. про називається вершиною кута, а промені h і k сторонами кута. Позначаємо звичайним чином: ?hk.

 Точка M називається внутрішньою точкою кута hk, якщо точка М і промінь k лежать в одній півплощині з кордоном  і точка М і промінь k лежать в одній півплощині з кордоном  . Безліч всіх внутрішніх точок називається внутрішньою областю кута.

Зовнішня область кута - безліч, т. К. Всі крапки відрізка з кінцями на різних сторонах кута є внутрішніми. Наступне властивість з методичних міркувань часто включають в аксіоми.

 властивість: Якщо промінь виходить з вершини кута і проходить хоча б через одну внутрішню точку цього кута, то він перетинає будь-який відрізок з кінцями на різних сторонах кута. (Самост.)

ГРУПА III. Аксіоми конгруентності (рівності)

На безлічі відрізків і кутів вводиться відношення конгруентності або рівності (позначається "="), яке задовольняє аксіомам:

III1 Якщо дані відрізок АВ і промінь, що виходить з т. А/, То $ т. В/, Що належить даному променю, т. Що АВ = А/В/.

III2 якщо А/В/= АВ і А//В//= АВ, то А/В/= А//В//.

III3 Нехай А-В-С, А///, АВ = А/В/ і ВС = В/С/, Тоді АС = А/С/

Опр3 якщо Про/ - Точка, .h/-промені, що виходить із цієї точки, а l/-полуплоскость з кордоном  , То трійка об'єктів Про/, h/ і l/ називається прапором (Про/, h/, l/ ).

III4 Нехай дано ?hk і прапор (Про/, h/, l/ ). Тоді в півплощині l/ існує єдиний промінь k/, Що виходить із точки О/, Такий що ?hk = ?h/k/.

III5 Нехай А, в і С - три точки, що не лежать на одній прямій. Якщо при цьому АВ = А/В/, АС = А/С/, ?В/А/С/ = ?ВАС, то ?АВС = ?А/В/С/ .

1. Точка В/ в III1 єдина на даному промені (самост.)

2. Ставлення конгруентності відрізків є відношенням еквівалентності на безлічі відрізків.

3. У трикутник кути при підстав рівні. (За III5).

4. Ознаки рівності трикутників.

5. Ставлення конгруентності кутів є відношенням еквівалентності на безлічі кутів. (Доповідь)

6. Зовнішній кут трикутника більше кожного кута трикутника, що не суміжного з ним.

7. У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.

8. Будь-який відрізок має одну і тільки одну середину

9. Будь-кут має одну і тільки одну бісектрису

Можна ввести такі поняття:

Опр4 Кут рівний своєму суміжному називається прямим.

Можна визначити вертикальні кути, перпендикуляр і похилі і т. Д

Можна довести едінственность ^. Можна ввести поняття "і" для відрізків і кутів:

Опр5 Якщо дані відрізки АВ і А/В/ і $ т. з, т. що А/-С-В/ і А/С = АВ, то А/В/> АВ.

Опр6 Якщо дано два кута ?hk і ?h/k/, І якщо через внутрішню область ?hk і його вершину можна провести промінь l такий, що ?h/k/ = ?hl, то ?hk> ?h/k/.

І найцікавіше, це, то що за допомогою аксіом груп I-III можна ввести поняття руху (накладення).

Робиться це приблизно так:

Нехай дано два безлічі точок p та p/. припустимо, що між точками цих множин встановлено взаємно однозначна відповідність. Кожна пара точок М і N безлічі p визначає відрізок МN. Ппусть М/ і N/ точки безлічі p/, Відповідні точкам МN. відрізок М/N/ домовимося називати відповідним відрізку МN.

Опр7 Якщо $ відповідність між p і p/ таке, що відповідні відрізки завжди виявляється взаємно конгруентними, то і безлічіp і p/ називається конгруентними. При цьому говорять також, що кожне з множин p і p/ отримано рухом з іншого або, що одне з цих множин може бути накладено на інше. Відповідні точки безлічі p і p/ називається поєднувати при накладенні.

Далі розвивається теорія накладень. Наприклад, мають місце

Утв1: Точки лежать на прямій, при русі переходять в точки, також лежать на деякій прямій.

Утв2 Кут, між двома відрізками, що з'єднують якусь точку безлічі з двома іншими його точками, конгруентна кутку між відповідними відрізками конгруентного безлічі.

Можна ввести поняття обертання, зрушення, композиції рухів і т. Д

ГРУПА IV. аксіоми безперервностіі.

IV1 (Аксіома Архімеда). Нехай АВ і СD якісь відрізки. Тоді на прямій АВ існує кінцеве безліч точок А1, А2, ..., Аn, Таких що виконуються умови:

1. А-А12, А123, ..., An-2-An-1-An

2. AA1 = A1A2 = ... = An-1An = CD

3. A-B-An

IV2 (Аксіома Кантора) Нехай на довільній прямій а дана нескінченна послідовність відрізків А1В1, А2В2, ... з яких кожен наступний лежить всередині попереднього і, крім того, для будь-якого відрізка СD знайдеться натуральне число n, таке, що АnВn <СD. Тоді на прямій а існує т. М, що належить кожному з відрізків даної послідовності.

З умови аксіоми Кантора відразу випливає, що така т.M єдина, т. К. Якщо це не так, і сущ. ще одна т.N, то відрізок МN nBn "N, що суперечить умові теореми.

Можна довести, що аксіоми I-III і IV1, IV2 еквівалентні следущему пропозицією Дедекинда.

теорема Дедекинда Нехай дано розбиття точок відрізка [АВ] на два класи До1 і К2, Ті К1 E До2 = [АВ], До12= ?, яке задовольняє двом умовам:

a) АIК1, ВIК2 і класи До1 і К2 містять точки, відмінні від точок А і В.

b) Будь-яка точка класу До1, Відмінна від А, лежить між точкою А і будь-якою точкою класу До2

Тоді $ т. М0 відрізка [АВ], така, що будь-яка точка, що лежить між А і М0, Належить класу До1, А будь-яка точка між М0 і В- класу До2.

Розбиття відрізка [АВ] на класи До1, До2 задовольняє умовам а) -в), називається дедекіндових перетином. Можна довести, що точка М0, Яка виробляє розтин єдина.

На підставі аксіом I-IV груп можна побудувати теорію вимірювання відрізків і кутів. Навіть можна довести, що $ біекція. безлічі точок прямої на безліч R дійсних чисел, зберігається порядок. А от теорію площ і обсягів побудувати не можна, т. К. Знадобився Аксіома паралельності.

ГРУПА V. Аксіома паралельності .

V. Нехай а - довільна пряма, а А- точка, що не лежить на цій прямій. Тоді в площині, певною точкою А і прямої а, існує не більше одній прямій, що проходить через А і не перетинає а.

На підставі I-V можна побудувати теорію паралельності, подібності і т. Д. Обгрунтувати тригонометрію, ввести координати, показати, що пряма на площині (визначення рівняння першого ступеня і т. Д.)

ЗАУВАЖЕННЯ: V *  Нехай а- довільна пряма, А- крапка не лежить на одній прямій. тоді в площині, визначеної т. а й прямий а, існує не менше двох прямих, що проходять через А і не перетинають а.

Група I-IVEV * Буд геометрія Лобачевського.

Як же так виходить, що, замінивши лише одну аксіому, ми отримали зовсім іншу геометрію? Тут доведеться торкнутися самі основи математики і правила побудови математичних теорій.

 



I8 Існує, принаймні чотири точки, що не лежать в одній площині. | Поняття математичної структури

Введення: геометрія - як фізика і геометрія, як математика. | Почала "Евкліда | V Постулат Евкліда | Система аксіом Гільберта | Інтерпретація системи аксіом | ізоморфізм структур | Вимоги, що пред'являються до систем аксіом | Система аксіом Вейля тривимірного евклідового простору |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати