Головна |
У завданнях 1.1-1.40 використовувати теореми додавання або твори ймовірностей, формулу повної ймовірності або формули Байеса.
1.1Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,7; ймовірність попадання другого стрілка - 0,5. Знайти ймовірності наступних подій:
а) потрапив хоча б один стрілець;
б) потрапив тільки перший стрілок.
1.2.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,8; ймовірність попадання другого стрілка - 0,7. Знайти ймовірності наступних подій:
а) хоча б один стрілець промахнувся;
б) потрапили обидва стрілка.
1.3.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,9; ймовірність попадання другого стрілка - 0,8. Знайти ймовірності наступних подій:
а) тільки перший стрілок влучив;
б) промахнулися обидва стрілка.
1.4.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,6; ймовірність попадання другого стрілка - 0,8. Знайти ймовірності наступних подій:
а) тільки другий стрілок промахнувся;
б) перший стрілок потрапив, а другий промахнувся.
1.5.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,3; ймовірність попадання другого стрілка - 0,7. Знайти ймовірності наступних подій:
а) потрапив тільки другий стрілок;
б) обидва стрілка промахнулися.
1.6.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,4; ймовірність попадання другого стрілка - 0,3. Знайти ймовірності наступних подій:
а) перший стрілок влучив, а другий потрапив;
б) потрапив хоча б один стрілець.
1.7.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,4; ймовірність попадання другого стрілка - 0,9. Знайти ймовірності наступних подій:
а) потрапив хоча б один стрілець;
б) промахнулися обидва стрілка.
1.8.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,5; ймовірність попадання другого стрілка - 0,8. Знайти ймовірності наступних подій:
а) потрапив тільки перший стрілок;
б) потрапили обидва стрілка.
1.9.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,6; ймовірність попадання другого стрілка - 0,7. Знайти ймовірності наступних подій:
а) хоча б один стрілець промахнувся;
б) перший стрілок потрапив, а другий промахнувся.
1.10.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,7; ймовірність попадання другого стрілка - 0,6. Знайти ймовірності наступних подій:
а) обидва стрілка промахнулися;
б) потрапив тільки другий стрілок.
1.11.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,8; ймовірність попадання другого стрілка - 0,5. Знайти ймовірності наступних подій:
а) тільки перший стрілок влучив;
б) потрапив бодай один стрілець;
1.12.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,9; ймовірність попадання другого стрілка - 0,4. Знайти ймовірності наступних подій:
а) промахнувся хоча б один стрілець;
б) потрапив тільки перший стрілок.
1.13.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,3; ймовірність попадання другого стрілка - 0,9. Знайти ймовірності наступних подій:
а) потрапили обидва стрілка;
б) тільки перший стрілок влучив.
1.14.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,4; ймовірність попадання другого стрілка - 0,8. Знайти ймовірності наступних подій:
а) потрапив хоча б один стрілець;
б) обидва стрілка промахнулися.
1.15.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,5; ймовірність попадання другого стрілка - 0,7. Знайти ймовірності наступних подій:
а) хоча б один стрілець промахнувся;
б) не влучив тільки другий стрілок.
1.16.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,6; ймовірність попадання другого стрілка - 0,5. Знайти ймовірності наступних подій:
а) потрапив хоча б один стрілець;
б) потрапили обидва стрілка.
1.17.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,7; ймовірність попадання другого стрілка - 0,4. Знайти ймовірності наступних подій:
а) промахнулися обидва стрілка;
б) хоча б один стрілець промахнувся.
1.18.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,8; ймовірність попадання другого стрілка - 0,6. Знайти ймовірності наступних подій:
а) потрапив хоча б один стрілець;
б) не влучив тільки перший стрілок.
1.19.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,9; ймовірність попадання другого стрілка - 0,3. Знайти ймовірності наступних подій:
а) хоча б один стрілець промахнувся;
б) перший стрілок потрапив, а другий промахнувся.
1.20.Два стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень першого стрільця дорівнює 0,3; ймовірність попадання другого стрілка - 0,8. Знайти ймовірності наступних подій:
а) перший стрілок влучив, а другий потрапив;
б) хоча б один стрілець потрапив.
1.21. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 3 білих і 2 чорних; у другому - 6 білих і 4 чорних; в третьому - 2 білих і 3 чорних. З випадково обраного ящика навмання беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що куля чорний?
1.22. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 4 білих і 2 чорних; у другому - 7 білих і 4 чорних; в третьому - 2 білих і 7 чорних. З випадково обраного ящика узятий кулю чорного кольору. Яка ймовірність того, що він витягнутий з другого ящика?
1.23.Є два набори деталей. У них знаходяться: в першому - 13 стандартних і 2 нестандартні деталі; у другому - 8 стандартних і 2 нестандартні деталі. Визначити ймовірність того, що взята навмання деталь (з випадково обраного набору) - стандартна.
1.24.Є два набори деталей. У них знаходяться: в першому - 22 стандартні і 4 нестандартні деталі; у другому - 10 стандартних і 3 нестандартні деталі. З випадково обраного набору деталей обрана стандартна деталь. Яка ймовірність того, що вона витягнута з другого набору?
1.25. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 3 білих і 5 чорних; у другому - 6 білих і 2 чорних; в третьому - 4 білих і 4 чорних. З випадково обраного ящика навмання беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що куля біла?
1.26. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 9 білих і 2 чорних; у другому - 5 білих і 1 чорний; в третьому - 14 білих і 12 чорних. З випадково обраного ящика узятий кулю білого кольору. Яка ймовірність того, що він витягнутий з першого ящика?
1.27. Є два набори деталей. У них знаходяться: в першому - 13 стандартних і 2 нестандартні деталі; у другому - 8 стандартних і 2 нестандартні деталі. Визначити ймовірність того, що взята навмання деталь (з випадково обраного набору) - нестандартна.
1.28. Є два набори деталей. У них знаходяться: в першому - 26 стандартних і 7 нестандартних деталей; у другому - 18 стандартних і 2 нестандартні деталі. З випадково обраного набору деталей обрана нестандартна деталь. Яка ймовірність того, що вона витягнута з першого набору?
1.29. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 3 білих і 5 чорних; у другому - 6 білих і 2 чорних; в третьому - 4 білих і 4 чорних. З випадково обраного ящика навмання беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що куля чорний?
1.30. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 13 білих і 15 чорних; у другому - 7 білих і 9 чорних; в третьому - 9 білих і 8 чорних. З випадково обраного ящика узятий кулю чорного кольору. Яка ймовірність того, що він витягнутий з другого ящика?
1.31. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 23 білих і 22 чорних; у другому - 16 білих і 10 чорних; в третьому - 12 білих і 3 чорних. З випадково обраного ящика навмання беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що куля чорний?
1.32. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 6 білих і 12 чорних; у другому - 17 білих і 6 чорних; в третьому - 12 білих і 17 чорних. З випадково обраного ящика узятий кулю чорного кольору. Яка ймовірність того, що він витягнутий з другого ящика?
1.33.Є два набори деталей. У них знаходяться: в першому - 8 стандартних і 4 нестандартні деталі; у другому - 18 стандартних і 5 нестандартних деталей. Визначити ймовірність того, що взята навмання деталь (з випадково обраного набору) - стандартна.
1.34.Є два набори деталей. У них знаходяться: в першому - 14 стандартних і 4 нестандартні деталі; у другому - 16 стандартних і 2 нестандартні деталі. З випадково обраного набору деталей обрана стандартна деталь. Яка ймовірність того, що вона витягнута з другого набору?
1.35. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 7 білих і 4 чорних; у другому - 12 білих і 8 чорних; в третьому - 14 білих і 19 чорних. З випадково обраного ящика навмання беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що куля біла?
1.36. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 4 білих і 3 чорних; у другому - 6 білих і 8 чорних; в третьому - 4 білих і 12 чорних. З випадково обраного ящика узятий кулю білого кольору. Яка ймовірність того, що він витягнутий з першого ящика?
1.37. Є два набори деталей. У них знаходяться: в першому - 14 стандартних і 6 нестандартних деталей; у другому - 10 стандартних і 1 нестандартна деталь. Визначити ймовірність того, що взята навмання деталь (з випадково обраного набору) - нестандартна.
1.38. Є два набори деталей. У них знаходяться: в першому - 23 стандартних і 6 нестандартних деталей; у другому - 17 стандартних і 2 нестандартні деталі. З випадково обраного набору деталей обрана нестандартна деталь. Яка ймовірність того, що вона витягнута з першого набору?
1.39. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 13 білих і 8 чорних; у другому - 6 білих і 11 чорних; в третьому - 3 білих і 1 чорний. З випадково обраного ящика навмання беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що куля чорний?
1.40. У трьох однакових ящиках знаходяться білі і чорні кулі: в першому - 3 білих і 20 чорних; у другому - 27 білих і 19 чорних; в третьому - 9 білих і 10 чорних. З випадково обраного ящика узятий кулю чорного кольору. Яка ймовірність того, що він витягнутий з другого ящика?
У завданнях 1.41-1.45використовувати формулу Бернуллі для визначення ймовірностей появи події при повторенні випробувань.
1.41. Схожість насіння даної рослини становить 90%. Знайти ймовірність того, що з чотирьох посіяних насіння зійдуть: а) три; б) не менше трьох.
1.42.У бавовні число довгих волокон становить 80%. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 5 волокон довгих виявиться: а) три; б) не більше двох.
1.43. Беручи ймовірності народження хлопчика і дівчинки однаковими, знайти ймовірність того, що серед 6 новонароджених: а) 4 хлопчика; б) не більше двох дівчаток.
1.44. У певному водоймі коропи складають 80%. Знайти ймовірність того, що з 5 виловлених в цій водоймі риб виявиться: а) 4 коропа; не менше 4 коропів.
1.45.Прилад складається з 4 вузлів. Імовірність безвідмовної роботи протягом зміни для кожного вузла дорівнює 0,8. Вузли виходять з ладу незалежно один від іншого. Знайти ймовірність того, що за зміну відмовлять: а) два вузла; б) не менше двох вузлів.
У завданнях 1.46-1.50використовувати асимптотичну формулу Пуассона для визначення ймовірностей появи події при повторенні випробувань.
1.46. Насіння містить 0,1% бур'янів. Яка ймовірність при випадковому відборі 2000 насіння виявити 5 насіння бур'янів?
1.47. Імовірність появи бракованої деталі дорівнює 0,008. Знайти ймовірність того, що з 500 випадково відібраних деталей виявиться 3 бракованих.
1.48.Пристрій складається з 1000 елементів, що працюють незалежно один від іншого. Імовірність відмови будь-якого елементу протягом години дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що за годину відмовлять 4 елементи
1.49. Книга видана тиражем в 50000 примірників. Імовірність того, що в книзі є дефект брошюровки дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить 5 неправильно зброшурованих книг.
1.50. Імовірність виживання бактерій після радіоактивного опромінення дорівнює 0,004. Знайти ймовірність того, що після опромінення з 500 бактерій залишиться не менше 3 бактерій.
У завданнях 1.51-1.60 дано, що на тракторному заводі робітник за зміну виготовляє n деталей. Імовірність того, що деталь виявиться першого сорту дорівнює р. Яка ймовірність, що деталей першого сорту буде m штук.2
1.51n = 400, p = 0,8, m = 320.
1.52n = 400, p = 0,9, m = 372.
1.53n = 300, p = 0,75, m = 240.
1.54n = 600, p = 0,6, m = 375.
1.55 n = 625, p = 0,64, m = 370.
1.56n = 192, p = 0,75, m = 150.
1.57n = 225, p = 0,8, m = 165.
1.58n = 100, p = 0,9, m = 96.
1.59n = 150, p = 0,6, m = 75.
1.60n = 625, p = 0,8, m = 510.
У завданнях 1.61-1.80 заданий закон розподілу випадкової величини Х (В першому рядку таблиці дані можливі значення величини Х, А у другому рядку вказані ймовірності р цих можливих значень).
Знайти: 1) математичне очікування МХ; 2) дисперсію DX; 3) середнє квадратичне відхилення sх.
1.61. | Х | ||||
р | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 | |
1.62. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | |
1.63. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,2 | 0,5 | 0,1 | |
1.64. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,5 | 0,3 | 0,1 | |
1.65. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | |
1.66. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 | |
1.67. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2 | |
1.68. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,3 | |
1.69. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 | |
1.70. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | |
1.71. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |
1.72. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | |
1.73. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |
1.74. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,1 | 0,5 | 0,2 | |
1.75. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | |
1.76. | Х | ||||
р | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | |
1.77. | Х | ||||
р | 0,3 | 0,5 | 0,1 | 0,1 | |
1.78. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | |
1.79. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,5 | |
1.80. | Х | ||||
р | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Приклади розв'язання задач | Математична статистика.
К. К. Ляпін | Порядок виконання контрольних робіт | консультації | А В - елементи Знайти об'єднання, перетин, різниця і діз'юнктівную суму множин А і В. | Елементи теорії множин. | Векторна алгебра. | Матриці. | Елементи функціонального аналізу. | Значення коефіцієнта Стьюдента |