Головна

А В - елементи Знайти об'єднання, перетин, різниця і діз'юнктівную суму множин А і В.

Рішення: 1. Об'єднання (сума) А  В є безліч всіх елементів, що належать А або В. Тоді

2. Перетин (твір)  є безліч всіх елементів належать одночасно як А, так і В. Тоді: .

3. Різниця А \ В є безліч, що складається з усіх елементів А, що не входять в В. Тоді: .

4. Диз'юнктивна сума  є безліч елементів, що належать або А, або В (але не обом разом). тоді .

Завдання 2.дано  Потрібно використовувати кола Ейлера для наочного зображення співвідношень між підмножинами А і В, що становлять універсум .

 В А
 В А
 В А
 В А
Рішення:

1 2 3 4

               
 
   
   
   
 
 


Завдання 3.Дано: число а, в, з n = 3 різних елементів. Потрібно знайти число перестановок цих елементів.

Рішення:1. Якісний аналіз показує, що число перестановок без повторень а, в, с; в, а, з; в, с, а; а, з, в; с, в, а; с, а, в одно 6.

2. За формулою:

Завдання 4.Дано: число n = 3 елементів з повтореннями: а, а, в двох типів: тип "а" повторюється  рази, тип "в" повторюється  раз. Потрібно знайти число перестановок цих елементів.

Рішення:1. Якісний аналіз показує, що число перестановок з повтореннями а, а, в; а, в, а; в, а, а; дорівнює 3.

2. За формулою:

Завдання 5.Дано число n = 3 різних елементів: а, в, с. Потрібно знайти число розміщень цих елементів по m = 2 без повторень.

Рішення:1. Якісний аналіз показує, що число розміщень з n = 3 по m = 2 без повторень а, в; в, а; а, з; с, а; в, с; с, в одно 6.

2. За формулою:

Завдання 6.дано: число m = 3 елементів повтореннями 2-х типів (k = 2): тип «а» і тип «b». Потрібно знайти число розміщень цих елементів по m = 3.

Рішення: 1. Якісний аналіз показує, що число розміщень з повтореннями з елементів двох типів (k = 2) по m = 3 елементів а, а, а; b, a, a; a, b, a; a, a, b; b, b, a; b, a, b; a, b, b; b, b, b дорівнює 8.

2. За формулою:

Завдання 7.Дано число n = 3 різних елементів: a, b, c. Потрібно знайти число поєднань цих елементів по m = 3.

Рішення:1. Якісний аналіз показує, що число поєднань з n = 3 елементів по m = 2 a, b; a, c; c, b (поєднання відрізняються один від одного тільки складом елементів, т. е a, b і b, a - це одне і теж поєднання) дорівнює 3.

2. За формулою:

Завдання 8.дано число елементів двох типів k = 2: тип "a" і тип "b". Потрібно знайти число поєднань цих елементів по m = 3 елементів.

Рішення:1. Якісний аналіз показує, що число сполучень їх k = 2 типів елементів по m = 3 з повтореннями a, a, a; b, a, a; b, b, a; b, b, b дорівнює 4.

2. За формулою:

II. векторна алгебра-це розділ математики, що вивчає величини (вектори), які характеризуються одночасно як числом (позитивним, негативним, рівним нулю), так і напрямом в тривимірному (або двомірному) просторі.

Завдання 9.Дано координати вершин піраміди АВСD: А (2; 1; 0), В (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Потрібно: 1) записати вектори  в системі орт i, j, k і знайти модулі цих векторів; 2) знайти кут між векторами  ; 3) знайти проекцію вектора  на вектор  ; 4) знайти площу грані АВС; 5) знайти об'єм піраміди АВСD.

Рішення. 1. Довільний вектор а може бути представлений в системі орт i, j, k наступною формулою:

 (1)

де ах, ау, аz - Проекції вектора а на координатні осі Ох, Оу и Оz, а i, j, и k - Одиничні вектори, напрямки яких збігаються з позитивним напрямком осей Ох, Оу и Оz. Якщо дані точки М1 (х1; у1; z1) і М2 (х2; у2; z2), То проекції вектора  на координатні осі знаходяться за формулами:

 (2)

тоді

 (3)

Підставивши в (3) координати точок А и В, Отримаємо вектор :

Аналогічно, підставляючи в (3) координати точок А и С, знаходимо

Підставивши в (3) координати точок А и D, Знаходимо вектор :

якщо вектор а заданий формулою (1), то його модуль обчислюється за формулою

 (4)

Застосовуючи (4), отримаємо модулі знайдених векторів:

2. Косинус кута між двома векторами дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеній на добуток їхніх модулів. Знаходимо скалярний добуток векторів и :

Модулі цих векторів вже знайдені:  . отже,

3. Проекція вектора  на вектор  дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеній на модуль вектора :

Площа грані АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах и  . Позначимо векторний добуток вектора  на вектор  через вектор Р. Тоді, як відомо, модуль вектора Р висловлює собою площу паралелограма, побудованого на векторах и  , Площа грані АВС буде дорівнює половині модуля вектора Р:

5. Обсяг паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних вектора, дорівнює абсолютній величині їх змішаного твори. Обчислимо мішаний добуток :

Отже, обсяг паралелепіпеда дорівнює 144 куб. од., а обсяг заданої піраміди АВСD дорівнює 24 куб. од.

матриці -це розділ дискретної математики, що вивчає сукупності чисел або об'єктів іншої природи, розташованих у вигляді прямокутної таблиці.

Завдання 10.Дана система лінійних рівнянь:

 (1)

Потрібно: 1). Записати вихідну систему лінійних рівнянь в матричній формі; 2). вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці.

Рішення. 1. Нехай А - Матриця коефіцієнтів при невідомих; Х - Матриця-стовпець невідомих х1, х2, х3 и Н - Матриця-стовпець з вільних членів:

Ліву частину системи (1) можна представити у вигляді добутку матриць А.Х, А праву - у вигляді матриці Н. Отже, маємо матричне рівняння

А.Х = Н. (2)

Якщо визначник матриці А відмінний від нуля, то матриця А має зворотну матрицю А-1. В цьому випадку можна обидві частини рівності (2) помножити зліва на матрицю А-1, отримаємо

А-1.А.Х = А-1.Н.

Так як А-1.А = Е, де Е - Одинична матриця, а Е.Н = Х, То матричний запис рішення системи лінійних рівнянь буде мати вигляд

Х = А-1.Н. (3)

2. для знаходження оберненої матриці А-1 необхідно спочатку знайти визначник

Тоді обернена матриця  визначається шляхом послідовності трьох кроків:

1). елементи матриці А замінюються їх алгебраїчними доповненнями  , Т. Е визначниками, отриманими видаленням з матриці А S-го рядка і K-го стовпчика, причому кожен визначник множиться ще на (-1)s+k:

2). матриця алгебраїчних доповнень транспонується, в результаті чого отримують взаємну (приєднану) матрицю а А (Аdj A)

3). взаємна матриця умножаемая на det A і виходять

3. Відповідно до (3) можна записати

Отже, рішення системи лінійних рівнянь х1= 2, х2 = 4, х3 = -1.

Завдання 11.Дана система лінейнихравненій:

Потрібно: 1). визначити сумісна чи вихідна система лінійних рівнянь; 2). вирішити систему, якщо вона сумісна.

Рішення. 1. Визначення розширеної матриці шляхом приєднання до матриці А (Матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих х1, х2, х3).

 шпальти вільних членів

Тоді отримують розширену матрицю системи:

2. Визначення рангів матриць А і В

2.1. Перетворення матриці А за правилом: суму елементів перших двох стовпців додамо до відповідних елементів третього стовпчика:

Аналіз показує, що визначник третього порядку  дорівнює нулю, т. К. всі елементи третього стовпця дорівнюють нулю. Визначник другого порядку  . Отже, ранг матриці А дорівнює 2, т. е r (A)= 2.

2.2. Перше перетворення матриці В за правилом: суму елементів перших двох стовпців додамо до відповідних елементів третього стовпчика.

Тоді всі елементи третього стовпця дорівнюють нулю.

Другі перетворення матриці В за правилом: елементи першого стовпчика помножити -3, другого на -2 і їх суму відняти від відповідних елементів четвертого стовпця:

Так як елементи двох останніх стовпців дорівнюють нулю, то всі визначники третього порядку матриці В рани нулю і, отже, ранг матриці В дорівнює 2, т. Е r (В)= 2.

Висновок: система лінійних рівнянь сумісна, т. К. виконано необхідна і достатня умова r (A)=r (В)= 2.

3. Оскільки ранг матриць А і В рівні 2, а система містить 3 невідомих, то вона має нескінченне число рішень. Нехай обраний базисний визначник  , А в якості базисних невідомих х1 и х2. Складаємо підсистему, що складається з перших двох рівнянь заданої системи та вільне невідоме х3 переносимо в праву частину. отримуємо

4. Вирішуючи останню систему щодо базисних невідомих х1 и х2, знаходимо х1= 3 + х3, х2= 2 + х3. Отримане рішення називається загальним. Конкретні рішення отримують задавшись х3. Наприклад, нехай х3= -2, Тоді х1= 1, х2= 0.

IV. Функціональний аналіз -це розділ математики, що вивчає властивості операторів, що діють між будь-якими (головним чином функціональними) просторами. Основними поняттями функціонального аналізу є: межа, функція, похідна.

Завдання 12.Знайти межі цих виразів:

Рішення. 1. Безпосередня підстановка граничного значення аргументу х= 2 призводить до невизначеності виду .

Для розкриття невизначеності необхідно:

- Розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники

и

- Скоротити дріб на загальний множник (Х-2).

тоді


б) нехай arctg 2x = y. тоді 2х = tg y; очевидно, що якщо х®0, то y®0.

отже,

Використовуючи перший чудовий межа, можна здійснити наступне перетворення:

Існує другий спосіб знаходження межі на основі того, що при знаходженні границі відношення двох нескінченно малих величин можна кожну з них (або тільки одну) замінити іншою нескінченно малої, їй еквівалентної. Так як при х®0 arctg 2x ~ 2х, то

3. При х® ? заснування  прагнути до 1, а показник ступеня 4х + 1 прагнути до нескінченності. Отже, маємо невизначеність виду 1?. Для розкриття невизначеності має бути поданий підставу у вигляді суми 1 і деякої нескінченно малої величини:

тоді

покладемо 2х + 3 = -4у; отже при х® + ? змінна у® - ?. Висловимо показник ступеня через нову змінну у. Так як 2х = -4у-3, то 4х + 1 = -8у-5.

Таким чином,

Використовуючи другий чудовий межа, можна здійснити наступне перетворення:

(Використовуємо другий чудовий межа).

4. При х®2 заснування (3х-5) наближається до одиниці, а показник ступеня  прагнути до нескінченності.

нехай 3х-5 = 1 + a, де a®0 при х®2. тоді:

Висловивши підставу і показник ступеня через a, отримаємо

--- ---

Завдання 13.дана функція у задана різними аналітичними виразами для різних областей зміни аргументу х:

Потрібно: 1) знайти точки розриву функції, якщо вони існують; 2) знайти межа функції у при наближенні аргументу х до точки розриву зліва і справа; 3) знайти стрибок функції в точці розриву. 4). побудувати графік даної функції y = f (x).

Рішення. 1. Ця функція визначена і неперервна в інтервалах (-?, -2), (-2, 1) і (1, +?). при х= -2 І х= 1 змінюється аналітичний вираз функції, і тільки в цих точках функція може мати розрив.

2. Односторонні межі в функції в точці х= -2:

Односторонні межі збігаються. Функція в цій точці неперервна.

3. Односторонні межі функції в точці х= 1 рівні:

Односторонні межі функції у в точці х= 1 не рівні між собою, то в цій точці функція має розрив першого роду.

4. стрибком функції в точці розриву називається абсолютна величина різниці між її правим і лівим граничним значеннями. Отже, в точці х= 1 стрибок функції .

5. Графік функції y = f (x)

 
 


-2

-4

Завдання 14. дана функція  і значення аргументу х1 = -2 І х2 = 3

Потрібно: 1) встановити, чи є дана функція безперервної або дискретної при даних значеннях аргументу; 2) знайти односторонні межі в точках розриву;

3) побудувати графік даної функції на відрізку [-6; 6].

Рішення. Якщо шукається межа функції у = f (х) за умови, що аргумент х, Прагнучи до свого граничного значення a, Може приймати тільки такі значення, які менше a, То ця межа, якщо він існує, називається правостороннім (правим) межею даної функції в точці х = a і умовно позначається так:

функція у = f (х) неперервна при х = a, Якщо виконуються наступні умови: 1) функція у = f (х) визначена не тільки в точці a, Але і в деякому інтервалі, що містить цю точку;

2) функція у = f (х) має при х®a кінцеві та рівні між собою односторонні межі;

3) односторонні межі при х®a збігаються зі значенням функції в точці a, Т. Е

Якщо для даної функції у = f (х) в даній точці х = a хоча б одне з перерахованих трьох умов не виконується, то функція називається розривної в точці х = a.

розрив функції у = f (х) в точці х = a називається розривом першого роду, якщо односторонні межі ліворуч і праворуч існують, але не рівні між собою. Якщо ж хоча б один з односторонніх меж не існує, розрив в цій точці називається розривом другого роду.

2. При х1 = -2 Дана функція  не існує: в цій точці функція терпить розрив.

3. Односторонні межі функції при х1 ® -2 Зліва і справа

так як знаменник прагне до нуля, залишаючись негативним;

так як знаменник прагне до нуля, залишаючись позитивним.

Отже, при х = -2 Дана функція має розрив другого роду.

4. При х= 3 дана функція  т. е вона в цій точці неперервна, так як виконуються всі три умови безперервності функції.

5. Графік функції має вигляд:

 
 


Завдання 15. Дано три функції виду:

1)  2)

3)  4)

Потрібно знайти похідні  функцій

Рішення. 1. Користуючись правилом логарифмирования кореня і дробу, перетворимо праву частину:

Застосовуючи правила і формули диференціювання, отримують:

2. Здійснюють логарифмирование по підставі обох частин рівності:

Тепер диференціюють обидві частини рівності, вважаючи lnу складною функцією від змінної х:

3. В даному випадку залежність між аргументом х і функцією у задана рівнянням, яку не дозволено щодо функції у. Щоб знайти похідну , Необхідно диференціювати по х обидві частини заданого рівняння, вважаючи при цьому у функцією від х, А потім отримане рівняння вирішити відносно шуканої похідною

Диференціюючи обидві частини вихідного рівняння, знаходять:

З отриманого рівності, що зв'язує х, у и , Знаходимо похідну шляхом перетворень:

4. Залежність між змінними х и у задана параметричними рівняннями. Щоб знайти потрібну похідну, необхідно попередньо знайти диференціали dx и dy і потім взяти їх відношення:

 



консультації | Елементи теорії множин.

К. К. Ляпін | Порядок виконання контрольних робіт | Векторна алгебра. | Матриці. | Елементи функціонального аналізу. | Приклади розв'язання задач | Теорія імовірності. | Математична статистика. | Значення коефіцієнта Стьюдента |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати