На головну

Додатки похідною до вирішення фізичних завдань

Як відомо, похідна характеризує миттєву швидкість прямолінійного руху. Однак цим не вичерпується використання похідної. При вивченні нерівномірно мінливих величин швидкість їх зміни завжди виражаються за допомогою похідної.

Поняття швидкості, запозичене з фізики, зручно при дослідженні поведінки будь-якої функції. Яку б залежність ні висловлювала функція  відношення  є середня швидкість зміни функції  щодо зміни аргументу х, а  - Миттєве швидкість зміни функції  при деякому значенні

Приклад 1.Чому дорівнює швидкість зміни функції  Обчислити її значення для

Так як в практичних додатках нас цікавить не тільки сама функція, але і швидкість її зміни, то похідна, будучи характеристикою швидкості зміни функції, має найширші практичні застосування в питаннях фізики, хімії, геометрії і т.д. Наведемо деякі конкретні приклади використання поняття похідної при визначенні швидкості різних процесів.

1. Припустимо, що в момент часу t маса ще не розпався радіоактивної речовини дорівнювала m, а через деякий час, в момент  маса його зменшилася (так як частина речовини перетворилася в продукт розпаду) і стала дорівнювати  (тут  негативно, оскільки маса радіоактивної речовини з часом зменшується). Таким чином, за час  маса наявного радіоактивної речовини ізмінілась на

ставлення  являє собою середню швидкість розпаду за проміжок часу  Чим менше цей проміжок, тим точніше вказане відношення виражає миттєву швидкість розпаду. Тому можна сказати, що миттєва швидкість розпаду в момент часу t дорівнює .

2. Миттєва потужність є похідна  де  - Робота, що здійснюються за час

3. Якщо V - об'єм рідини, на який діє зовнішнє тиск P, то похідна  дає коефіцієнт стиснення рідини при даному тиску.

4. Якщо тверде тіло обертається навколо осі, то кут повороту  є функція від часу t. Кутова швидкість обертання в даний момент t чисельно дорівнює похідною

5. Сила струму є похідна  де  - Позитивний електричний заряд, стерпний через перетин провідника за час

6. Теплоємність при температурі Т є похідна  де  - Кількість теплоти, необхідне для зміни температури на

Приклад 2.Маховик за час t повертається на кут  (T - в секундах,  - В радіанах). Визначити кутову швидкість  в кінці 3 - й секунди. Знайти момент, коли припиниться обертання.

Рішення. маємо  Так як  радий \ с, то при t = 3 отримаємо  (Рад \ с). Обертання припиниться в момент, коли  тобто при t = 8c.

Приклад 3.Маховик, затримуваний гальмом, за t з повертається на кут  (Рад). Визначити кутову швидкість  маховика в момент часу t = 2 c і знайти момент зупинки обертання.

Приклад 4.Кількість теплоти Q, що отримується деяким речовиною при нагріванні його від 0 до Т, визначається за формулою  (Q - в джоулях, t - в кельвінах). Знайти теплоємність цієї речовини при 100К.

Рішення. Знаходимо теплоємність:

С =

При Т = 100К отримаємо

 (Дж \ К).

Приклад 5.Закон зміни тепмература Т тіла в залежності від часу t задано рівнянням

C якій швидкості нагрівається це тіло в момент часу 10с?

Рішення. Швидкість нагрівання тіла є похідна температури Т за часом t:

Визначимо швидкість нагрівання тіла при t = 10

 (Град \ с) ..

Приклад 6.Температура тіла Т змінюється в залежності від часу t за законом  З якою швидкістю нагрівається це тіло в момент часу



Хід роботи |

Правила диференціювання функції | Завдання для самостійного рішення | Знайти похідні складних функцій | Хід роботи | рішення прикладів | Завдання для самостійного рішення | Загальна схема дослідження функції та побудова графіка | Приклад дослідження і побудови графіка функції | Хід роботи | Завдання для самостійного рішення |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати