На головну

Нормальний розподіл

  1. I етап гри. розподіл ролей
  2. III. Облік надходжень в бюджетну систему Російської Федерації і їх розподіл між бюджетами
  3. IV. Розподіл бюджету РК
  4. Барометрична формула. РозподілБольцмана
  5. Біноміальний розподіл
  6. Варіаційний ряд. Статистичний розподіл вибірки. відносні частоти

Випадкова величина має нормальне (гауссовское) розподіл з параметрами а і  , Якщо її щільність розподілу задається формулою:

.

Його позначають N (а,  ); саму випадкову величину також називають нормальною. На практиці розподіл випадкових величин найчастіше наближається саме до цього закону розподілу.

Графік щільності нормального розподілу (його ще називають нормальної, або гауссовской кривої) Представлений на малюнку 14.

 Малюнок 14 - Нормальна крива

Як видно з малюнка 14, нормальний розподіл є симетричним відносно прямої x = а. Можна довести, що параметр а являє собою математичне сподівання випадкової величини (центр розподілу). Оскільки параметр а визначає положення графіка щільності на числової осі, його ще називають параметром положення. У точці x = а щільність розподілу досягає максимуму, який дорівнює .

Дисперсія нормального розподілу дорівнює  . параметр  характеризує ступінь стиснення або розтягування графіка щільності, тому його називають параметром масштабу.

Вісь абсцис є горизонтальною асимптотой нормальної кривої, тобто .

Також цей графік має дві точки перегину  , Ординати яких дорівнюють .

Графік функції нормального розподілу наведено на малюнку 15. Цей графік центрально симетричний щодо своєї точки перегину, що має координати (а; 0,5). Він має дві горизонтальні асимптоти - вісь абсцис і паралельну їй пряму з ординатою, що дорівнює одиниці.

 Малюнок 15 - Функція нормального розподілу

Безпосередньо знайти функцію нормального розподілу представляється скрутним, оскільки інтеграл від щільності нормального розподілу є «не береться» в елементарних функціях. Тому для проведення розрахунків використовують окремий випадок нормального розподілу - стандартний нормальний розподіл, що викладені нижче.

Нормальний розподіл використовується при моделюванні різноманітних ситуацій, пов'язаних з вимірюваннями ваги і обсягу товарів, терміну роботи електроламп, зростання чоловіків, що проходять медкомісію і т.п. У всіх цих випадках випадкова величина - результат вимірювання - розподілена симетрично щодо свого середнього випадкового значення.

Ясно, що на практиці ці величини зазвичай приймають значення з деякого інтервалу, а не на всій числовій осі. Тим не менш, це не перешкоджає використанню нормального розподілу. При дослідженні випадкових величин, який підкоряються нормальному закону, використовують "Правило трьох сигм", згідно з яким відхилення нормальної випадкової величини від свого математичного очікування більш ніж на 3  практично неможливо (його ймовірність дуже мала). Це дозволяє обмежитися розглядом інтервалу [a - 3  ; a + 3  ].

Нехай випадкова величина у розподілена по N (а,  ). Поставимо у відповідність цієї випадкової величини іншу випадкову величину х, значення якої обчислюються за формулою х = (у - а) /  . Відповідно до відомими властивостями математичного очікування і дисперсії

М (х) = М ((у - а) /  ) = М (у - a) /  = (А - а) /  = 0;

D (x) = D ((у - а) /  ) = D (у - a) / 2 = ( 2 - 0) / 2 = 1.

Величина х буде мати нормальний розподіл з параметрами
 а = 0, 2 = 1, тобто N (0, 1). Його називають стандартним(абонормованим)нормальним розподілом.

Щільність розподілу N (0, 1) визначається формулою:

.

Функція розподілу N (0, 1) визначається:

.

Відзначимо, що для N (0, 1) центром розподілу є 0. Тому
 f (-x) = f (x), а F (-x) = 1 - F (x) (дивись малюнок 16).

 Малюнок 16 - Функція і щільність стандартного нормального розподілу

Значення функції стандартного нормального розподілу табульовані для невід'ємних х.

При цьому зазвичай табулірует навіть не сама функція розподілу, а функція  , яка називається функцією Лапласа. У цьому випадку, щоб отримати функцію розподілу, необхідно до значення, наведеного в таблиці, додати ? (адже  , Так як 0 - центр розподілу). Відповідно для негативних х функцію розподілу можна знайти за формулою F (-x) = 1/2 - Ф (x).

Часто в довідкових таблицях призводять подвоєну функцію Лапласа, яку розраховують за формулою  . У цьому випадку її значення необхідно розділити на 2.

Наприклад, виробнику електроламп відомо, що середній термін роботи лампи складає 600 годин, а стандартне відхилення терміну роботи - 40 годин. Визначимо ймовірність того, що лампа пропрацює:

а) менше 700 годин;

б) менше 550 годин;

в) від 550 до 700 годин.

г) нехай 2% ламп працюють не більше визначеного терміну (мають мінімальний термін роботи). Визначимо його величину.

Випадкова величина х - термін роботи електролампи в годиннику - розподілена нормально з математичним очікуванням 600 і дисперсією 1600.

а) Р (х <700) = F '(700), де F' (х) - функція розподілу N (600, 1600).

Щоб знайти цю ймовірність, перейдемо до N (0, 1): Р (х <700) = F ((700 - 600) / 40) = F (2,5). Цю величину знаходять по таблиці: Р (х <700) = 0,5 + Ф (2,5) = = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.

Отже, не більше 700 годин працюють 99,38% ламп.

б) Р (х <550) = F '(550) = F ((550 - 600) / 40) = F (-1,25) = 1 - F (1,25) = ? - Ф (1,25 ) = 0,5 - 0,3914 = 0,1056.

Отже, не більше 550 годин працюють 10,56% ламп.

в) Р (550 <х <700) = F '(700) - F' (550) = 0,9938 - 0,1056 = 0,8882.

Отже, від 550 до 700 годин працюють 88,81% ламп.

г) Визначимо спочатку, яким значенням стандартної нормальної величини х* відповідає значення функції розподілу 0,02. Оскільки мова йде про лампах з найкоротшим терміном роботи, це значення буде менше середнього, а значить, при переході до стандартного нормального розподілу буде отримано від'ємне значення (менше 0). Той же висновок можна було зробити на підставі того, що 0,02 <0,5 (функція розподілу монотонно зростає, і дорівнює 0,5 в точці 0).

Тоді F (х*) = 1 - F (- х*) = 0,5 - Ф (- х*) = 0,02. Звідси Ф (- х*) = 0,5 - 0,02 = 0,48. По таблиці знаходимо х* = - 2,05.

Необхідно знову перейти до N (600, 1600) і знайти х*', Для якого х* = (Х*'- 600) / 40. Звідси х*'= 40 * х* +600 = 600 - 82 = 518.

Отже, 2% ламп працюють не більше 518 годин.

Якби було необхідно визначити термін роботи 2% кращих ламп, то потрібно було б знайти х*, Для якого F (х*) = 1 - 0,02 = 0,98 = 0,5 + Ф (х*), Тобто Ф (х*) = 0,48. По таблиці х* = 2,05; х*'= 40 * х* +600 = 600 + 82 = 682.

Отже, 2% ламп працюють не менше 682 годин.


 



Рівномірний розподіл неперервної випадкової величини | варіаційні ряди

випадкові події | імовірність подій | Умовна ймовірність. незалежність подій | Перестановки і поєднання | Формули Байєса і повної ймовірності | Закон розподілу випадкової величини. Математичне очікування | Дисперсія випадкової величини | Біноміальний розподіл | Щільність і функція розподілу. Безперервні випадкові величини | Графічне представлення варіаційних рядів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати