На головну

Біноміальний розподіл

  1. I етап гри. розподіл ролей
  2. III. Облік надходжень в бюджетну систему Російської Федерації і їх розподіл між бюджетами
  3. IV. Розподіл бюджету РК
  4. Барометрична формула. РозподілБольцмана
  5. Варіаційний ряд. Статистичний розподіл вибірки. відносні частоти

Розглянемо наступну ситуацію. Гральну кістку кидають чотири рази, причому в якості результату кожного з цих дослідів них розглядають події А - випало 6 очок, або В - випало не 6 очок. У кожному з дослідів Р (А) = 1/6; Р (В) = 5/6. Як випадкової величини х розглянемо число випадінь 6 за ці 4 досвіду; х  {0; 1; 2; 3; 4}. Визначимо, наприклад, Р (х = 2). Цьому значенню випадкової величини відповідають наступні послідовності подій: ААВВ; авав; АВВА; ВААВ; Вава; ВВАА. Імовірність кожного з них дорівнює (1/6)2* (5/6)2. Імовірність суми цих шести рівно можливих подій дорівнює 6 * (1/6)2* (5/6)2 = 25/216 = Р (х = 2).

Чому подій виявилося саме 6? Це число є число поєднань з 4 по 2 (шістка могла випасти в будь-яких двох дослідах з чотирьох): З24 = 4! / (2! * 2!) = 6.

Розглянемо більш загальну ситуацію. Кожен з n незалежних дослідів має два результати. Імовірність одного з них дорівнює p, а іншого (1 p) (в кожному досвіді). Випадкова величина х є число дослідів, в яких мав місце перший з цих випадків. Тоді її ймовірність можна обчислити за формулою:

Р (х) = Cxnpx(1 - p)n - x = px(1 - p)n - x n! / (x! (n - x)!)

При цьому говорять, що величина х має биномиальное імовірнісний розподіл (n  N, x = 0, n, 0

Наприклад, 5 верстатів працюють незалежно один від одного. Імовірність поломки протягом дня для кожного з них дорівнює 0,2. Знайти імовірнісний розподіл числа верстатів, зламалися протягом дня.

Дискретна випадкова величина х - число верстатів, що зламалися, протягом дня: х  {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Має місце 5 незалежних дослідів, в кожному з яких можливий один із двох випадків - верстат зламався (з ймовірністю р = 0,2) або не зламався (з ймовірністю 1 - 0,2 = 0,8). Тому величина х розподілена біноміальної, тобто її розподіл визначається формулою: Р (х) = Cx50,2x0,85 - x = 0,2x(0,8)5 - x 5! / (X! (5 - x)!).

Уявімо його у вигляді таблиці 3.

Таблиця 3

х
 Р (х)

.

Визначимо математичне сподівання і дисперсію біноміального розподілу.

Використовуємо властивості математичного очікування. Дамо результатами проведених n експериментів числові значення - першому результату (з ймовірністю р) - 1, а другого - 0. Це n випадкових величин. Математичне сподівання кожної з них дорівнює 1 * р + 0 * (р - 1) = р. Випадкова величина х є сумою n таких величин, отже, їх математичні очікування необхідно скласти: М (х) = np.

Проведемо аналогічні міркування для дисперсії. Відзначимо при цьому, що n випадкових величин є незалежними. Математичне сподівання квадрата кожної з них одно р, а квадрат математичного очікування - р2. Звідси дисперсія кожної з них дорівнює р - р2 = Р (1 - р). Тоді дисперсія х є сумою цих дисперсій: D (x) = np (1 - p).

Підрахуємо ці величини для прикладу з верстатами: М (х) = np =
 = 5 * 0,2 = 1; D (x) = np (1 - p) = 5 * 0,2 * 0,8 = 0,8; ; .



Дисперсія випадкової величини | Щільність і функція розподілу. Безперервні випадкові величини

випадкові події | імовірність подій | Умовна ймовірність. незалежність подій | Перестановки і поєднання | Формули Байєса і повної ймовірності | Закон розподілу випадкової величини. Математичне очікування | Рівномірний розподіл неперервної випадкової величини | Нормальний розподіл | варіаційні ряди | Графічне представлення варіаційних рядів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати