На головну

Дисперсія випадкової величини

  1. I. Вихідні дані, результати і проміжні величини
  2. I. Вихідні дані, результати і проміжні величини.
  3. Абсолютні і відносні величини.
  4. Абсолютні і відносні величини.
  5. Б) кутову швидкість w, тобто зміна величини кута з плином часу (або похідною від кутового переміщення за часом),
  6. безрозмірні величини

дисперсією випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного очікування (якщо останнє існує):

D (x) = M ((x-M (x))2).

Для дискретної випадкової величини:

Якщо дискретна випадкова величина може приймати нескінченне число значень, сума в правій частині буде являти собою ряд.

Для чого підраховують дисперсію? Математичне сподівання саме по собі не дає нам вірного уявлення про характер досліджуваного явища, про те, як може змінюватися випадкова величина. Ми дізнаємося тільки її середнє значення при великому числі експериментів, але не можемо судити про те, який в середньому розкид її значень навколо цього числа. Судити про це дозволяє дисперсія. Відхилення при її обчисленні беруться в квадраті, так як в противному випадку відхилення в різні боки (значення більше і менше середнього) компенсували б один одного. Вибір для позбавлення від знака саме зведення в квадрат, а не будь-якого іншого дії (наприклад, взяття за модулем) пояснюється тим, що на цей факт грунтується доказ деяких важливих властивостей дисперсії, що вивчаються математичною статистикою.

Наведене вище вираз для дисперсії є незручним при проведенні практичних обчислень, тому виведемо інше.

Отже,

Наведемо без доведення деякі властивості дисперсії:

1) Дисперсія неотрицательна (за визначенням):

D (x) 0

2) Дисперсія постійної дорівнює нулю:

с - const  D (c) = 0

Наприклад, якщо працівник отримує постійну зарплату х = 30 (тис. Руб.), То її дисперсія буде дорівнює нулю (справді, характеристика розсіювання нульова).

3) Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:

с - const  D (cx) = c2D (x)

Наприклад, нехай дисперсія заробітної плати працівника дорівнює 4 (х -Заробітна плата, D (х) = 4). Інший працівник завжди отримує на 20% більше, ніж перший, тобто заробітна плата другого працівника дорівнює 1,2 * х. Тоді дисперсія заробітної плати другого працівника дорівнює D (1,2 * х) =
 = 1,22* D (х) = 1,44 * 4 = 5,76.

4) Для незалежних випадкових величин дисперсія їх суми дорівнює сумі дисперсій:

D (x + y) = D (x) + D (y) (для незалежних х і y)

Наприклад, нехай дисперсія заробітної плати одного працівника дорівнює 4 (х - його заробітна плата, D (х) = 4), а іншого - 5 (y - його заробітна плата, D (y) = 5). Тоді дисперсія сумарною заробітної плати складе D (x +
 + Y) = D (x) + D (y) = 4 + 5 = 9. Однак, виконати розрахунок таким чином можна лише в разі, коли заробітні плати цих працівників не залежать один від одного. Якщо вони залежні, скористатися формулою можна.

Слід зазначити, що дисперсія різниці двох випадкових величин буде дорівнює теж сумі дисперсій (а не різниці). Це випливає з властивостей (3) і (4), оскільки при зведенні в квадрат сомножителя (-1) отримують 1.

Властивість (4) буде вірним не тільки для двох, але для будь-якого кінцевого числа випадкових величин.

5) При збільшенні (зменшенні) всіх значень випадкової величини на константу, її дисперсія не зміниться (це випливає з властивостей (2) і (4):

с - const  D (x - c) = D (x)

Наприклад, якщо дисперсія середньомісячної зарплати дорівнює 4, і з зарплати щомісяця віднімають 800 руб. на оплату проїзного квитка, то дисперсія зарплати за вирахуванням оплати проїзного буде все одно дорівнює 4.

Наприклад, розглянемо випадкову величину х - кількість проданих в день автомобілів. Ця величина вимірювалася протягом 100 днів, і за цей час приймала значення {0; 1; 2; 3; 4} відповідно 18, 15, 28, 15 і 24 число раз. Необхідно визначити дисперсію імовірнісного розподілу х.

Будемо вважати, що число експериментів - 100 - досить велике, щоб можна було розглядати відносну частоту в якості емпіричної оцінки ймовірності. Тому щоб визначити ймовірності, розділимо кожну з частот на 100. Уявімо імовірнісний розподіл у вигляді табл.2, приписавши до неї два рядки для допоміжних обчислень.

Таблиця 2

х
 Р (х)  0,18  0,15  0,28  0,15  0,24
 хР (х)  0,15  0,56  0,45  0,96  M (x) = 2,12
x2Р (х)  0,15  1,12  1,35  3,84  M (x2) = 6,46

 = 6,46-2,122  1,97.

Використовувати отриману оцінку все ж видається складним. Її не можна порівняти з математичним очікуванням, так як її одиниці виміру не мають економічного сенсу ( "автомобілі в квадраті"). Тому, щоб визначити, чи дійсно розкид кількості продажів навколо величини 2,12 такий великий, винесемо корінь з дисперсії  . Отриманий результат має ті ж одиниці вимірювання, що і розглянута випадкова величина (в даному випадку він вимірюється в кількості автомобілів, тобто в штуках).

Цю величину називають середнім квадратичним відхиленням (СКП) і позначають .

СКО = 1,4 (шт.) - Багато це чи мало? Ймовірно, якби обсяг продажів становив в середньому, наприклад, 10 машин в день, то така величина характеризувала б невеликий розкид. В даному випадку
 М = 2,12 (шт.). Щоб оцінити отриманий результат, необхідно підрахувати відносний показник, який дозволить порівняти СКО з математичним очікуванням.

Ставлення СКО до математичного сподівання випадкової величини називають коефіцієнтом варіації:  . Він являє собою безрозмірну величину (можна перевести його в відсотки, помноживши на 100%).

Для розглянутого прикладу коефіцієнт варіації дорівнює 1,4 / 2,12 =
 = 0,66 або 66%.

Розглянуті вище математичне очікування, дисперсія, СКО та коефіцієнт варіації є числові характеристики випадкової величини. Крім них, існують і інші числові характеристики, які поки розглядати не будемо.

 



Закон розподілу випадкової величини. Математичне очікування | Біноміальний розподіл

випадкові події | імовірність подій | Умовна ймовірність. незалежність подій | Перестановки і поєднання | Формули Байєса і повної ймовірності | Щільність і функція розподілу. Безперервні випадкові величини | Рівномірний розподіл неперервної випадкової величини | Нормальний розподіл | варіаційні ряди | Графічне представлення варіаційних рядів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати