Головна

Закон розподілу випадкової величини. Математичне очікування

  1. Ex 2. Припиніть пропозиції іспользуяPastPerfect.
  2. I. Закони взаємодії і руху тіл. (26 годин)
  3. I. Вихідні дані, результати і проміжні величини.
  4. II. Документи, що використовуються для обліку надходжень, в тому числі в іноземній валюті, в бюджетну систему Російської Федерації і їх розподілу між бюджетами
  5. III закон Ньютона відноситься до приватного типу законів
  6. III закон Пфлюгера (закон скорочення м'язи)

Шрифт: напівжирний, відступ: Перший рядок: 0 см, По центру, інтервал Перед: 30 пт, Після: 30 пт, Чи не відривати від наступного, Рівень 2, Стиль: Зв'язаний, Приховати до використання, Експрес-стиль, Заснований на стилі: звичайний, Наступний стиль: звичайний

Середнє значення дискретної випадкової величини, отримане при необмежено великому числі дослідів, називають її математичним очікуванням.

Нехай проведено n експериментів, в яких визначалося значення випадкової величини х. У цих експериментах вона приймала значення
х1, х2,. . . , хm відповідно h (x1), H (x2),. . ., H (xm) Число раз (  ). Величини h (xi) називають частотами.

Наприклад, розглянемо бал, отриманий студентом на іспиті, як дискретну випадкову величину. Нехай з 100 студентів в потоці одна людина отримала два бали, 10 осіб отримали три бали, 40 осіб отримали чотири бали і 49 осіб отримали п'ять балів. Т. Є. m = 4, х1 = 2, h (x1) = 1; х2 = 3, h (x2) = 10; х3 = 4, h (x3) = 40; х4 = 5, h (x5) = 49. Розрахуємо середній бал. Для цього підсумуємо загальна кількість балів, набрана всіма студентами потоку, як  = 1 * 2 + 10 * 3 + 40 * 4 + 49 * 5 = 437. Тепер розділимо цю суму на всіх студентів 437/100 = 4,37. Отже, середній бал  = 4,37.

Загальна формула для розрахунку середнього значення має такий вигляд:

При досить великому n число (відносну частоту) Можна розглядати, як емпіричну оцінку ймовірності того, що випадкова величина прийме значення хi, Т. Е Р (х = хi) =  . Можна записати наступний вираз для математичного очікування випадкової величини х:

М (х) = .

Якщо дискретна випадкова величина може приймати нескінченне число значень, сума в правій частині буде являти собою ряд. Якщо цей ряд не сходиться абсолютно, то кажуть, що математичне очікування даної випадкової величини не існує.

Правило, що дозволяє поставити у відповідність випадкової величиною деяку вірогідну міру, будемо називати законом розподілу випадкової величини, або її імовірнісним розподілом.

Для дискретної випадкової величини з кінцевим числом значень це набір ймовірностей, відповідний кожному з її значень.

При цьому сума цих ймовірностей по всіх можливих значеннях випадкової величини повинна бути дорівнює 1: .

Це може бути, наприклад, таблиця або формула.

Розглянемо приклад. Нехай ймовірність того, що гравець виграє 1000 руб., Дорівнює 0,1. Імовірність виграшу 500 руб. дорівнює 0,2. У разі програшу йому доведеться сплатити 300 руб. Уявити імовірнісний розподіл виграшу у вигляді таблиці і визначити очікуваний виграш.

Випадкова величина х - виграш - може приймати значення з множини {1000; 500; -300}. Імовірність перших двох значень задана, а ймовірність програшу можна підрахувати як 1- (0,1 + 0,2) = 0,7.

Імовірнісний розподіл х можна представити у вигляді табл.1:

Таблиця 1

х  -300
 Р (х)  0,1  0,2  0,7

Звідси математичне очікування виграшу М (х) = 1000 * 0,1 +
 + 500 * 0,2 + (-300) * 0,7 = -10.

Це означає, що очікуваний виграш є програш. При багаторазовому повторенні експерименту (гри) гравець втратить в середньому 10 руб. за гру (хоча в окремій грі він може і виграти).

Дві випадкові величини називають незалежними, Якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яке значення прийняла інша величина.

Наведемо без доведення деякі властивості математичного очікування:

1) Математичне сподівання константи дорівнює самій константі:

с - const  M (c) = c

Наприклад, якщо працівник отримує постійну зарплату х = 30 (тис. Руб.), То її математичне сподівання, т. Е очікувана зарплата дорівнюватиме
 30 тис. Крб.

2) Постійний співмножник можна винести за знак математичного очікування:

с - const  M (cx) = cM (x)

Наприклад, якщо один працівник отримує в середньому 20 тис. Руб. (Х - його заробітна плата, М (х) = 20), а інший працівник завжди отримує на 20% більше, ніж перший, то заробітна плата другого працівника дорівнює 1,2 * х, а її математичне сподівання дорівнює М (1,2 * х) = 1,2 * М (х) = 1,2 * 20 = 24 (тис. крб.).

3) Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань:

M (x + y) = M (x) + M (y)

Наприклад, якщо у відділі працюють дві людини, і очікувана заробітна плата одного з них дорівнює 20 тис. Руб. (Х - його заробітна плата, М (х) = 20), а іншого - 30 тис. Руб. (Y - його заробітна плата, М (y) = 30), то очікувана оплата праці в цьому відділі дорівнює М (х + y) = М (х) + М (y) = 20 +
 + 30 = 50 (тис. Крб.).

4) Для незалежних випадкових величин математичне сподівання їх твори дорівнює добутку математичних сподівань:

M (xy) = M (x) M (y) (для незалежних х і y)

Наприклад, нехай один працівник отримує в середньому 20 тис. Руб. (Х - його заробітна плата, М (х) = 20). Для заробітної плати іншого працівника діє підвищений коефіцієнт в порівнянні з першим працівником, і цей коефіцієнт є випадковою величину y. В середньому він отримує на 20% більше, ніж перший, т. Е М (y) = 1,2. Величина коефіцієнта не залежить від зарплати першого працівника. Тоді очікувана заробітна плата другого працівника дорівнює М (ХY) = M (x) M (y) = 1,2 * 20 = 24 (тис. Крб.). Однак, якщо підвищувальний коефіцієнт залежить від зарплати (наприклад, при зарплаті до 18 тис. Крб. Від дорівнює 1,21, від 18 до 20 тис. Крб. - 1,2, більше 20 тис. Крб. - 1,18), то тоді скористатися формулою можна.

Властивості (3) і (4) будуть вірними не тільки для двох, але для будь-якого кінцевого числа випадкових величин.

5) При збільшенні (зменшенні) всіх значень випадкової величини на константу, її математичне очікування збільшиться (зменшиться) на цю ж константу:

с - const  M (x - c) = M (x) - з

Наприклад, якщо очікувана зарплата за місяць становить 30 тис. Руб. (Х - заробітна плата, М (х) = 30), і з неї кожен місяць віднімають 800 руб. на оплату проїзного квитка, то математичне очікування зарплати за вирахуванням оплати проїзного складе М (х - 0,8) = М (х) - 0,8 = 29,2 (тис. крб.).

6) Математичне сподівання відхилення випадкової величини від свого математичного очікування дорівнює нулю:

M (x - М (х)) = 0

Наприклад, якщо очікувана зарплата за місяць становить 30 тис. Руб. (Х - заробітна плата, М (х) = 30), то її очікуване відхилення від 30 тис. Руб. становить нуль.

 



Формули Байєса і повної ймовірності | Дисперсія випадкової величини

випадкові події | імовірність подій | Умовна ймовірність. незалежність подій | Перестановки і поєднання | Біноміальний розподіл | Щільність і функція розподілу. Безперервні випадкові величини | Рівномірний розподіл неперервної випадкової величини | Нормальний розподіл | варіаційні ряди | Графічне представлення варіаційних рядів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати