На головну

Формули Байєса і повної ймовірності

  1. Алгоритм (послідовність) неповного розбирання автомата
  2. Алгоритм (послідовність) складання автомата після неповного розбирання
  3. Аналіз основної формули теорії пружного режиму
  4. Повною мірою використовуйте делегування як оплачувану послугу
  5. введення формули
  6. Введення формули додавання. Сума.
  7. Ймовірності значень просвітів або висотних відхилень. Даний метод дозволяє вимірювати нерівності в діапазоні більш довгих хвиль - з довжиною напівхвилі від 10 до 40 м.

нехай Вi, P (Вi)> 0, i = 1, n - попарно несумісні події, і якщо відбулося деяке подія А, то сталося і подія  . тоді
 Р (А) =  Р (А / Вi) - формула повної ймовірності.

Справді, подія А можна уявити, як суму попарно несумісних подій А = АВ1 + АВ2 +. . . + АВn (Адже якщо сталося А, то хоча б яке-небудь з Вi також було саме):

Р (А) = Р (АВ1 + АВ2 +. . . + АВn) = Р (АВ1) + Р (АВ2) +. . . + Р (АВn) = Р (В1) * Р (А / В1) + Р (В2) * Р (А / В2) +. . . + Р (Вn) * Р (А / Вn).

За визначенням умовної ймовірності Р (Вi/ А) = Р (АВi) / Р (А) = Р (Вi) * Р (А / Вi) / Р (А). Підставами в цей вислів формулу повної ймовірності:

Р (Вi/ А) = Р (Вi) * Р (А / Вi) / (  Р (А / Вi)).

Отриманий вираз - формула Байеса.

Розглянемо приклади використання отриманих формул.

Є три фірми-постачальника деталей. На частку першої фірми припадає 50% загального обсягу поставок, а на дві інші - відповідно 30% і 20%. З практики відомо, що 10% деталей, що поставляються першою фірмою, - браковані. Для другої і третьої фірм відсоток браку відповідно 5% і 6%. З поставлених деталей навмання береться одна деталь. Визначимо 1) ймовірність того, що ця деталь бракована, і 2) ймовірність того, що якщо деталь бракована, вона поставлена ??першою фірмою.

Визначимо події наступним чином. Подія А - деталь бракована, подія В1, - Деталь отримана від 1-ї фірми, події В2 і В3 - Від 2-й і 3-й фірм відповідно. Тоді Р (В1) = 1/2 (50%); Р (В2) = 3/10; Р (В3) = 1/5; Р (А / В1) = 1/10; Р (А / В2) = 1/20; Р (А / В3) = 3/50. Нам необхідно визначити Р (А) і Р (В1/ А).

Відзначимо, що якщо відбулася подія А, то і подія (В1 + В2 + В3) Також було саме. Подія (В1 + В2 + В3) Взагалі достовірно (Р (В1 + В2 + В3) = Р (В1) + Р (В2) + Р (В3) = 1), воно завжди буде мати місце, так як інших постачальників, крім цих трьох фірм, немає; деталь обов'язково поставлена ??однієї чи іншої з них. події В1, В2 і В3 попарно несумісні, так як деталь не може бути одночасно поставлена ??двома різними фірмами. Отже, для визначення Р (А) можна скористатися формулою повної ймовірності:

Р (А) =  Р (А / Вi) = (1/2) * (1/10) + (3/10) * (1/20) + (1/5) * (3/50) = 1/20 + 3/200 + 3/250 = (50 + 15 + 12) / 1000 = 0,077.

Для визначення Р (В1/ А) скористаємося формулою Байеса:

Р (В1/ А) = Р (В1) * Р (А / В1) / (  Р (А / Вi)). Вираз в знаменнику вже підраховано - це Р (А). Р (В1/ А) = (1/2) * (1/10) / 0,077 = 50/77  0,65.

Інший приклад. В бухгалтерію надходять пачки накладних для перевірки і обробки. 90% пачок були визнані задовільними: вони містили лише 1% неправильно оформлених накладних. Решта 10% пачок були визнані незадовільними, оскільки містили 5% неправильно оформлених накладних. Визначимо 1) ймовірність того, що якщо перша взята навмання з пачки накладна виявилася неправильно оформленою, то пачка виявиться незадовільною; 2) ймовірність того, що якщо дві взяті навмання накладні оформлені неправильно, то пачка незадовільна.

Визначимо наступні події. З1 - Пачка задовільна, С2 - Пачка незадовільна (Р (С1) = 0,9; Р (С2) = 0,1); А - перша накладна оформлена неправильно, (Р (А / С1) = 0,01; Р (А / С2) = 0,05); В - обидві накладні оформлені неправильно. Будемо вважати, що в пачці знаходиться досить велика кількість накладних, щоб вважати, що ймовірність появи другої неправильної накладної істотно не зміниться і дорівнюватиме раніше 0,01 в задовільною і 0,05 в незадовільною пачці. На тій же підставі будемо вважати, що події А і поява другої неправильної накладної (обидві накладні дістаються з однієї і тієї ж пачки, В - добуток цих подій) незалежні: Р (В / С1) = 0,0001; Р (В / С2) = 0,0025). Відзначимо, що події З1 і С2 несумісні. подія З1 + З2 є достовірним.

Нам необхідно визначити Р (С2/ А) і Р (С2/ В). Для цього скористаємося формулою Байеса:

Р (С2/ А) = Р (С2) * Р (А / С2) / (Р (С1) * Р (А / С1) + Р (С2) * Р (А / С2)) = 0,1 * 0,05 / (0,9 * 0,01 + 0,1 * 0,05) = 0,005 / 0,014 = 5/14  0,357

Р (С2/ В) = Р (С2) * Р (В / С2) / (Р (С1) * Р (В / С1) + Р (С2) * Р (В / С2)) = 0,1 * 0,0025 / (0,9 * 0,0001 + 0,1 * 0,0025) = 0,00025 / 0,00034 = 25/34  0,735.



Перестановки і поєднання | Закон розподілу випадкової величини. Математичне очікування

випадкові події | імовірність подій | Умовна ймовірність. незалежність подій | Дисперсія випадкової величини | Біноміальний розподіл | Щільність і функція розподілу. Безперервні випадкові величини | Рівномірний розподіл неперервної випадкової величини | Нормальний розподіл | варіаційні ряди | Графічне представлення варіаційних рядів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати