На головну

Умовна ймовірність. незалежність подій

  1. Абсолютна і умовна збіжність. Достатній ознака збіжності знакозмінних рядів.
  2. Аудит подій безпеки
  3. Боротьба за незалежність Індонезії.
  4. БОРОТЬБА ЗА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ПОЛЬЩІ, ЧЕХІЇ та балканських країн
  5. Боротьба за об'єднання і незалежність російських земель у другій половині 14 століття. історичне значення. Дмитро Донський. Куликовська битва і її історичне значення.
  6. Імовірність добутку двох подій А і В дорівнює добутку ймовірності
  7. імовірність подій

Розглянемо наступний досвід. В урні знаходиться чотири однакових на дотик кулі - 2 чорних і 2 білих. З урни двічі навмання (НЕ дивлячись) витягують по одній кулі. Подія А - в перший раз витягнений біла куля, подія В - вдруге витягнений біла куля.

Припустимо спочатку, що після того, як куля витягнутий, і його колір визначено, його повертають назад в урну. Тоді можна розглядати обидва витягування, як окремі досліди, і обидва рази ймовірність кожного елементарного події (витягнутий 1 з 4 куль) буде дорівнює ?. Отже, так як білих куль 2 в тому і в іншому випадку, Р (А) = Р (В) = 2/4 = 1/2.

Змінимо умови досвіду. Нехай тепер витягнуте куля не кладуть назад в урну. Тоді як і раніше Р (А) = 1/2. Позначимо ймовірність В за умови, що А сталося, Р (В / А). Якщо в перший раз витягнений біла куля, то в урні залишилося 2 чорних і 1 біла куля, тобто можуть мати місце три рівноймовірно результату, з яких тільки 1 відповідає події В. Р (В / А) = 1/3. Визначимо ймовірність В за умови, що сталося  , Тобто витягнутий чорна куля (тобто не білий, куль інших квітів, крім білого і чорного, в урні немає). Тоді в урні залишилося 2 білих і 1 чорна куля, Р (В /  ) = 2/3.

Величини Р (В / А) і Р (В /  ) Називають умовними ймовірностями. Суворе визначення умовної ймовірності формулюється в такий спосіб:

умовною ймовірністю називають ймовірність події В, за умови, що подія А сталося, Р (В / А) = Р (АВ) / Р (А), де Р (А)> 0.

Проілюструємо це визначення на прикладі з кулями, в якому їх повертають в урну. Пронумеруємо кулі 1, 2, 3 і 4 (перші 2 - чорні, а 3 і 4 - білі). Розглянемо простір елементарних подій (подія 12 означає, що в перший раз витягли перший шар, а в другій - другий): {12; 13; 14; 21; 23; 24; 31; 32; 34; 41; 42; 43}. Можливі 12 рівноймовірно результатів. Події АВ (і в перший, і в другий раз витягнуто білі кулі) відповідають два з них - {34; 43}, значить, Р (АВ) = 2/12 = 1/6. Події А відповідають 6 результатів: {31; 32; 34; 41; 42; 43}, Р (А) = 1/2. Звідси Р (В / А) = Р (АВ) / Р (А) = (1/6) / (1/2) = 1/3, що збігається з раніше отриманим результатом.

Події А і В називають незалежними, Якщо Р (В / А) = Р (В), Р (А)> 0 (тобто ймовірність події В не залежить від того, відбулося чи ні подія А). В іншому випадку події є залежними.

Інше визначення незалежності, еквівалентну даному (еквівалентність стає очевидною, якщо порівняти його з визначенням умовної ймовірності):

Події А і В називають незалежними, Якщо Р (АВ) = Р (В) * Р (А), Р (А)> 0.

Наприклад, в першому досліді з кулями, коли вони поверталися в урну, події А і В були незалежними, а при зміні умов досвіду (кулі не повертаються) вони стали залежними.

Друге визначення можна також розглядати, як правило множення незалежних подій.

події Аi, I = 1, n називають взаємно незалежними (незалежними в сукупності), якщо

 (Тобто для будь-якого набору подій з даної сукупності ймовірність їх твори дорівнює добутку ймовірностей подій).

Якщо ця умова виконується для будь-яких двох подій (тобто тільки для h = 2, то події називають попарно незалежними.

Відзначимо, що з попарной незалежності не слід взаємна незалежність.

Очевидно, для взаємно незалежних подій правило множення можна узагальнити на як завгодно велику кількість подій: .

Правило множення залежних подій безпосередньо випливає з визначення умовної ймовірності:

Р (АВ) = Р (А) * Р (В / А).

Методом індукції з нього отримують більш загальну формулу:

Наприклад, на станції відправлення є 8 замовлень на відправку товару - 5 всередині країни і 3 на експорт. Визначимо ймовірність того, що два обраних навмання замовлення виявляться призначеними для споживання всередині країни.

Дана подія є твір двох залежних подій: А - перше замовлення на відправку всередині країни, В - другий замовлення на відправку всередині країни. Р (А) = 5/8; Р (В / А) = 4/7 (так як якщо один замовлення всередині країни вже вибрали, їх залишилося 4 з 7).

Р (АВ) = Р (А) * Р (В / А) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/16.

Інший приклад: рада директорів складається з трьох бухгалтерів, трьох менеджерів і двох інженерів. З трьох його членів планується створити підкомітет (їх вибір визначається міркуваннями, не пов'язаними зі спеціальністю). Визначимо ймовірність того, що підкомітет буде повністю складатися з бухгалтерів.

Дана подія є твір трьох залежних подій: А - 1-й член підкомітету - бухгалтер, В - 2-й - бухгалтер і С - 3-й - бухгалтер. Р (А) = 3/8; Р (В / А) = 2/7; Р (С / АВ) = 1/6. Звідси Р (АВС) = Р (А) * Р (В / А) * Р (С / АВ) = (3 * 2 * 1) / (8 * 7 * 6) = 1/56.

Приклад розрахунку ймовірності добутку незалежних подій: верстат функціонує тільки за умови одночасної роботи 3 незалежних один від одного вузлів. Імовірність поломки цих вузлів дорівнює відповідно 0,2, 0,3 і 0,1. Визначимо ймовірність безперебійної роботи верстата протягом аналізованого періоду (для якого визначені ймовірності).

Верстат працюватиме, якщо жоден з трьох вузлів не зламається.

Позначимо А подія "вузол 1 не зламався", В - "вузол 2 не зламався", С - "вузол 3 не зламався". Необхідно знайти Р (АВС).

Подія, що складається в тому, що вузол не зламався, є протилежним події "вузол зламався". Значить, ймовірність відсутності поломки для кожного з трьох верстатів можна підрахувати як 1-0,2 = 0,8; 1-0,3 = 0,7 і 1-0,1 = 0,9. Відомо, що вузли працюють незалежно. Отже, Р (АВС) = Р (А) * Р (В) * Р (С) = 0,504.



імовірність подій | Перестановки і поєднання

випадкові події | Формули Байєса і повної ймовірності | Закон розподілу випадкової величини. Математичне очікування | Дисперсія випадкової величини | Біноміальний розподіл | Щільність і функція розподілу. Безперервні випадкові величини | Рівномірний розподіл неперервної випадкової величини | Нормальний розподіл | варіаційні ряди | Графічне представлення варіаційних рядів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати