Головна

імовірність подій

  1. Аудит подій безпеки
  2. Вірогідність зараження реципієнтів при гемотрансфузії
  3. Імовірність добутку двох подій А і В дорівнює добутку ймовірності
  4. імовірність події
  5. Імовірність події є кількісна міра можливості настання цієї події.

Числова функція Р, визначена на множині подій, називається ймовірністю, якщо

1) для будь-якої події вона неотрицательна (Р (А)  0,  А),

2) для достовірного події дорівнює одиниці (Р (  ) = 1),

3) для попарно несумісних подій ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей кожної події (якщо Аi* Аj = ? (  ), То  ).

Останнє твердження називають аксіомою складання. Для двох подій вона приет вид: А * В =  Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Безпосередньо з визначення випливає, що

1) Р (  ) = 0 (так як  );

2) Р (  ) = 1 - Р (А) (так як  );

3) 0  Р (А)  1 (так як  );

4)  , Тобто якщо А тягне за собою В, то ймовірність А менше, ніж ймовірність В (так як  ).

легко виводиться правило додавання ймовірностей. Уявімо події А + В = А + В  і В = В  + ВА. Події в правих частинах рівності несумісні, тому їх ймовірності можна скласти за правилом для несумісних подій (аксіомі складання):

Р (А + В) = Р (А) + Р (В  );

Р (В) = Р (В  ) + Р (ВА).

Віднімемо ці рівності почленно і перенесемо Р (В) в праву частину:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В  ) Р (В  ) Р (ВА) + Р (В);

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) Р (ВА).

Наведене вище визначення ймовірності є аксіоматичним.

Якщо можливі результати в просторі елементарних подій різновірогідні, використовується класичне визначення ймовірності: Ймовірність будь елементарного події дорівнює 1 / n, де n - загальне число елементарних подій. Імовірність випадкової події А в Відповідно до цього визначення дорівнює Р (А) = s / n, де s - число елементарних подій, що входять до відповідного підмножина.

Це визначення підходить, наприклад, для досвіду з киданням монети, в якому можливі наслідки - "герб" або "решка" - різновірогідні. Так як їх 2, то ймовірність кожного - ?. Чотири результату досвіду з дворазовим киданням монети також різновірогідні, і ймовірність кожного з них - ?.

А ось якщо розглядати в якості простору елементарних подій число випадінь "решки" - 0, 1 або 2, то класичне визначення ймовірності застосувати не можна, так як результати не є рівноімовірними. Тим не менш, вірогідність будь-якого з цих випадків можна підрахувати, якщо розглядати їх як випадкові подій в просторі елементарних подій {ГГ, РГ, ГР, РР}. Наприклад, подія А - "решка випала 1 раз" - включає в себе два елементарних події: Р (А) = Р {РГ, ГР} = 2/4 = 1/2.

Імовірність події В - "решка випала хоча б один раз" - також можна підрахувати за допомогою класичного визначення - так як в нього входить 3 елементарних події з чотирьох, Р (В) = ?.

Ті ж результати можна отримати, якщо скористатися правилом додавання ймовірностей (всі елементарні події несумісні, і їх ймовірності рівні ?: ? + ? = ?; ? + ? + ? = ?).

імовірність події  , Що "решка» не випаде, дорівнює ?. Відзначимо, що Р (  ) = 1-Р (В) = 1-?.

На практиці не завжди є можливість судити про те, різновірогідні елементарні результати чи ні. Справді, припустимо, що нам невідомий той факт, що випадання "герба" ??або "решки" равновероятно. В цьому випадку слід провести досить велике число дослідів, наприклад, 1000, і підрахувати число випадань "решки" (або "герба"). Воно повинно виявитися приблизно рівним 500, тобто половині числа дослідів, з чого і буде зроблено висновок про равновероятности результатів. Відзначимо, що якщо при цьому монета має якийсь дефект (наприклад, одна її сторона намагнічена), через який результати справді не будуть рівноімовірними, в ході випробувань це з'ясується, і помилковий висновок про можливість використання класичного ухвали не буде зроблений.

Інший приклад емпіричного (досвідченого) визначення ймовірності - тестування виробів на наявність шлюбу. Взявши деякий досить велике число виробів (наприклад, 2000), перевіримо кожне з них. Нехай шлюб виявився в 346 виробах. З цього можна зробити висновок, що ймовірність наявності шлюбу дорівнює 346/2000 = 0,173. Відповідно, ймовірність відсутності шлюбу дорівнює 1-0,173 = 0,827.

Отже, емпіричноймовірність можна визначити, як відносну частоту появи певного результату при досить тривалому експерименті, тобто m / n, де n - досить велике загальне число окремих експериментів, а m - число експериментів, в яких мав місце даний результат.

Іноді емпіричне визначення ймовірності ще називають статистичними.

Крім того, на практиці часто зустрічаються випадки, коли немає ні теоретичних даних, ні можливості провести експеримент. У цьому випадку для визначення ймовірності використовують експертну оцінку, Тобто її суб'єктивно оцінює досвідчений дослідник.

Наприклад, прогноз менеджера з маркетингу: ймовірність продажу 1000 одиниць товару в перший місяць після його появи на ринку дорівнює 0,4.

Інший приклад оцінки ймовірності фахівцем - метеопрогноз: Р (дощ) = 0,4; Р (вітер) = 0,7; Р (дощ і вітер) = Р (дощ * вітер) = 0,2. На цьому ж прикладі проілюструємо правило додавання ймовірностей для подій, які не є несумісними. Підрахуємо ймовірність того, що буде дощ чи вітер: Р (дощ + вітер) = Р (дощ) + Р (вітер) Р (дощ * вітер) = 0,4 + 0,7-0,2 = 0,9.

Якщо число випадків є нескінченним, має сенс використовувати геометричне визначення ймовірності. Відповідно до цього визначення знаходять ймовірність попадання точки в деяку область. Геометрично ймовірність події визначають як відношення заходи області, яка відповідає тому, що подія відбулася, до міри всієї області.

Наприклад, нехай покупець може зайти в магазин в будь-який момент часу з 12.00 до 14.00. О 13.00 в магазині можуть почати проводити дегустацію товару, яка триватиме півгодини. Знайдемо ймовірність того, що покупець потрапить на цю дегустацію. Як всій області розглянемо відрізок числової осі від нуля до двох (це ті дві години, протягом яких може зайти покупець). Його міра - довжина - дорівнює двом. Та область, яка відповідає дегустації, являє собою частину цього відрізка довжиною 0,5. Таким чином, шукана ймовірність дорівнює 0,5 / 2 = 0,25.

Розглянемо більш складний приклад. Нехай двоє покупців незалежно один від одного збираються прийти в магазин в довільний час з 12.00 до 14.00. Кожен планує пробути там півгодини. Знайдемо ймовірність того, що в магазині одночасно опиняться обидва цих покупця. Для цього позначимо х1 - Час приходу першого покупця, а х2 - Другого. На малюнку 11 квадрат зі стороною, що дорівнює двом, відповідає всій розглянутій області (його міра - площа - дорівнює 4). Покупці виявляться в магазині одночасно, якщо між моментами їх приходу пройде не більше півгодини, тобто | х1 - х2| ? 0,5. Це нерівність можна записати у вигляді х1 - 0,5 ? х2 ? х1 + 0,5. На графіку область перетину цих напівплощин заштрихована.

 Малюнок 11 - Геометричне визначення ймовірності

Її площа можна обчислити за формулою 4 - 1,5 * 1,5 = 4 - 2,25 = 1,75. Тоді шукана ймовірність дорівнює 1,75 / 4 = 0,4375.



випадкові події | Умовна ймовірність. незалежність подій

Перестановки і поєднання | Формули Байєса і повної ймовірності | Закон розподілу випадкової величини. Математичне очікування | Дисперсія випадкової величини | Біноміальний розподіл | Щільність і функція розподілу. Безперервні випадкові величини | Рівномірний розподіл неперервної випадкової величини | Нормальний розподіл | варіаційні ряди | Графічне представлення варіаційних рядів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати