Головна

випадкові події

  1. Windows 9X як приклад системи, керованої подіями
  2. імовірність події
  3. Імовірність події є кількісна міра можливості настання цієї події.
  4. Вічні теми і великі історичні події в мистецтві
  5. Питання. Імовірність появи хоча б однієї події
  6. Висунете версії про характер події, що сталася

ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

До сих пір ми розглядали детерміновані математичні моделі, в яких ситуація характеризувалася повною визначеністю (всі умови були задані і однозначно визначали результат). На практиці це має місце аж ніяк не завжди, оскільки в реальній економічній ситуації зазвичай присутній елемент невизначеності. Щоб відобразити цей елемент, будують стохастичні, або імовірнісні, Математичні моделі (при цьому за основу побудови часто береться детермінований варіант). У таких моделях використовуються кошти теорії ймовірностей і математичної статистики.

випадкові події

Початковим поняттям в теорії ймовірностей є поняття елементарного події. безліч (простір) елементарних подій включає в себе всі можливі взаємовиключні результати досвіду (в економіці - деякої економічної ситуації).

Наприклад, якщо досвід - підкидання монети один раз, то простір елементарних подій включає в себе два результати - випадання герба (Г) і випадання решки (Р). Якщо монету кидають два рази, то простір елементарних подій буде включати чотири виходи: ГР (спочатку випав герб, а потім решка), ГГ, РР і РГ. Якщо в тому ж досвіді (дворазове кидання монети) не важливий порядок, в якому монета випадала тією чи іншою стороною, як результатів можна розглядати число випадінь, наприклад, решки. Тоді результату буде три - решка випала 0, 1 або 2 рази.

Інший приклад - робота телефонної станції протягом певного проміжку часу, як результатів розглядається число надійшли дзвінки від абонентів. Це може бути 0 викликів, 1, 2 виклики і т.д. Тут простором елементарних подій є 0 і все безліч натуральних чисел. Результатів нескінченно багато.

Інший приклад - потрапляння на площину довільної точки. Тут теж нескінченно багато випадків (будь-яка точка площини - елементарний результат).

випадкова подія - Будь-яка підмножина простору елементарних подій.

Наприклад, позначимо А - випадкова подія, що складається в тому, що на телефонну станцію вступить жодного виклику, В - що надійде від 1 до 5 викликів, С - від 6 до 20, D - не менше 3 викликів. Випадкова подія А включає в себе всього один результат (0), подія В - результати 1, 2, 3, 4 і 5, подія С - 15 випадків з простору елементарних подій, D - всі результати, крім 0, 1 і 2.

У прикладі з попаданням на площину довільної точки теж можна позначити випадкові події. Наприклад, подія S1 полягає в тому, що точка потрапила в квадрат (див. малюнок 1). Відповідне підмножина буде включати всі точки всередині і на кордоні цього квадрата.

S1

 Малюнок 1 - Випадкова подія S1 полягає в тому, що точка потрапила в квадрат

сума подій - Подія, яка полягає в тому, що сталося принаймні одна з подій, що входять в суму (об'єднання відповідних множин): А + В = А  В.

Можна сказати, що знак суми в реальному житті відповідає слову "або" - відбулася одна з подій, що входять в суму, або інше, або третє і т.д., або два чи більше одночасно.

Наприклад, подія А + В означає, що надійшло не більше п'яти викликів. Подія А + D означає, що викликів або не було, або надійшло не менше трьох (весь простір елементарних подій, крім 1 і 2 викликів). Подія З + D = D, так як подія С являє собою підмножину D (якщо відбулося С, тобто надійшло від 6 до 20 викликів, то D тим більше сталося). Інакше кажуть, що С тягне за собою D, або З I D.

Інший приклад - якщо подія S2 полягає в тому, що точка потрапила в коло, зображений на малюнку 2, то подія S1 + S2 включатиме в себе всі точки всередині і на кордоні області, виділеної на цьому малюнку (точка потрапила або в коло, або в квадрат).

S2
S1

 Малюнок 2 - Подія S1 + S2

твір подій - Подія, яка полягає в тому, що сталося кожне з подій, що входять у твір (перетин відповідних множин): А * В = А  В.

На практиці це поняття відповідає слову "і" - відбулося і одна подія, і інше, і всі інші.

Наприклад, подія В * D означає, що надійшло від 3 до 5 викликів (одночасно в інтервалі від 1 до 5 і не менше 3). Подія С * D = С, теж так як подія С являє собою підмножину D (кількість викликів має бути не менше трьох і одночасно від 6 до 20 викликів - це і означає, що воно повинно бути від 6 до 20).

Інший приклад - якщо подія S2 полягає в тому, що точка потрапила в коло на малюнку 3, то подія S1* S2 включатиме в себе всі точки всередині і на кордоні області, виділеної на цьому малюнку (точка потрапила і в коло, і в квадрат одночасно).

S2
S1

 Малюнок 3 - Подія S1* S2

Подія, що включає в себе весь простір елементарних подій, називають достовірним (Позначимо його  ( «Омега»)), а порожня множина - неможливим подією.

події називають несумісними, Якщо їх твір є неможливою подією.

Наприклад, несумісні події А і В, так як якщо виклики не надходили, їх число не могло виявитися в інтервалі від 1 до 5: А * В = .

Інший приклад - якщо подія S3 полягає в тому, що точка потрапила в трикутник на малюнку 4, то події S1 і S3 будуть несумісні, так як немає точок, що потрапляють одночасно в S1 і в S3 (Не можна одночасно потрапити в області, обмежені квадратом і трикутником), тобто S1* S3 = .

S2
S3
S1


 Малюнок 4 - Події S1 і S3 несумісні

подія називають протилежним іншої події, якщо вони несумісні, а їх сума достовірна.

Подія, протилежне А, позначають .

.

Наприклад, для нашого прикладу подія  означає, що виклики надходили (протилежність тому, що їх не було). При цьому А * =  (Якщо виклики надходили, їх число не дорівнює 0), а подія А +  достовірно (можна з упевненістю стверджувати, що виклики або надходили, або ні). подія  означає, що викликів або не було, або було більше 5.

При формулюванні протилежної події слід проявляти уважність. Наприклад, події "виклики були" і "викликів не було" дійсно, протилежні, в чому ми тільки що переконалися. А ось події "все вироби в партії браковані" і "все вироби в партії не містять шлюбу" протилежними не є. Справді, хоча вони і несумісні, але їх сума зовсім не є достовірною (не обов'язково все вироби повинні бути бракованими або все доброякісними, - можливо, що частина з них містить шлюб, а частина немає). Подією, протилежним події "все вироби браковані", є подія "не всі вироби браковані" (або, що те ж саме, "хоча б одне вони не браковане"). Подією, протилежним події "все вироби не містять шлюбу", є подія "хоча б один виріб містить шлюб".

У прикладі з попаданням на площину довільної точки подія  Зображене виділенням на малюнку 5, полягає в тому, що точка потрапила в будь-яку точку площини, за винятком точок всередині і на кордоні квадрата.

S1


 Малюнок 5 - Події S1 и  протилежні

Можна довести, що виконуються наступні властивості операцій додавання і множення (властивості (3) і (4) проілюстровані графічно на малюнках 6-9):

1) А + В = В + А; АВ = ВА - коммутативность;

2) А + (В + С) = (А + В) + С; (АВ) С = А (ВС) - асоціативність;

3) (А + В) * С = А * С + В * С (див. Рисунок 6); А + ВС = (А + В) (А + С) - дистрибутивність (див. Малюнок 7);

4)  (Див. Рисунок 8);  (Див. Рисунок 9);

5) для будь-якої події А вірно А * А = А; А + А = А.


S2  
S1  
S4  


Малюнок 6 - S1(S2 + S4) = S1S2 + S1S4

S2  
S1  
S4  


Малюнок 7 - S1 + S2* S4 = (S1 + S2) * (S1 + S4)

S2
S1


S2
S1
 Малюнок 8 -

Малюнок 9 -

різницею двох подій називають подію, що складається в тому, що перше з них відбулося, а друге не відбулося: А - В = .

Для прикладу з телефонною станцією подія (D - С) означає, що надійшло або від 3 до 5 викликів, або більше 20 (тобто не менше трьох, але не від 6 до 20). Подія (D - В) означає, що надійшло понад 5 викликів (не менше трьох, але не від 1 до 5).

У прикладі з попаданням на площину довільної точки подія
 (S1 - S2) Буде включати в себе всі точки всередині і на кордоні області, виділеної на малюнку 10 (точка потрапила в квадрат, але не в коло).

S2
S1


Малюнок 10 - Подія S1 - S2



My father still ___ heating oil from a company in Chicago | імовірність подій

Умовна ймовірність. незалежність подій | Перестановки і поєднання | Формули Байєса і повної ймовірності | Закон розподілу випадкової величини. Математичне очікування | Дисперсія випадкової величини | Біноміальний розподіл | Щільність і функція розподілу. Безперервні випадкові величини | Рівномірний розподіл неперервної випадкової величини | Нормальний розподіл | варіаційні ряди |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати