На головну

Mетод Ейлера

  1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ РУХУ ІДЕАЛЬНОЮ РІДИНИ (рівняння Ейлера)
  2. Інтегрування рівняння руху Ейлера. інтеграл Бернуллі
  3. метод Ейлера
  4. Методи Лагранжа і Ейлера
  5. Рішення диференціального рівняння методом Ейлера
  6. Формула Ейлера при різних випадках опорних закріплень. Критичне напруження.

Простий метод Ейлера реалізуєтьсязастосуванням на кожному кроці обчислень наступних ітераційних виразів:

xi + 1= x1+ H;

yi + 1= y1+ H * f (x, y). (27)

При цьому для i = 0 значення x0 и y0 повинні бути відомі як початкові умови. Похибка методу пропорційна h2.

Для зменшення похибки рішення слід застосовувати більш точні методи. Наприклад, метод Ейлера з перерахунком реалізується наступними ітераційним виразами на кожному кроці обчислень:

xi + 1= x1+ H;

yi + 1= y1+ H * (f (x1, y1) + F (x1+ H, y1+ H * f (x1, y1))) / 2 (28)

Похибка методу пропорційна h3.

Метод Рунге-Кутта

При високих вимогах до точності рішення можна скористатися методом Рунге-Кутта, що реалізується наступними формулами:

 k1 = h * f (xi, yi);

 k2 = h * f (xi+ H / 2, yi+ K1 / 2);

 k3 = h * f (xi+ H / 2, yi+ K2 / 2); (29)

 k4 = h * f (xi+ H, yi+ K3);

xi + 1 = xi + H;

yi + 1 = yi + (K1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6.

Похибка методу пропорційна h5.

Для вирішення звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку Y '' + p (x) Y '+ g (x) Y = f (x) з граничними умовами:

k11 * Y (a) + k12 * Y '(a) = A,

k21 * Y (b) + k22 * Y'(b) = B

також застосовується метод кінцевих різниць, при цьому похідні, що входять в рівняння і додаткові умови замінюються наступними кінцево-різницевими відносинами:

; ;  ; (30)

 . (31)

В результаті отримаємо систему алгебраїчних рівнянь, рішення якої дасть таблицю наближених значень шуканої функції.

ПРИКЛАД. Вирішити звичайне диференціальне рівняння 2-го порядку:

y '' + xy'-0.5y / x = 1

Рішення:

Розбивши відрізок [2, 2.3] на частини з кроком h = 0.1, отримаємо чотири вузлові точки з абсциссами x0= 2, x1= 2.1, x2= 2.2, x3= 2.3. дві точки x0= 2 і x3= 2.3 є кінцевими, дві інші - внутрішніми. Дане рівняння у внутрішніх точках замінимо кінцево-різницевим:

(i =1, 2).

З крайових умов складемо кінцево-різницеві рівняння в кінцевих точках:

, y3 = 2.15.

Завдання зводиться до вирішення системи рівнянь:

Приклади розв'язання диференціальних рівнянь за допомогою вбудованих функцій системи MathСad наведені в додатках Д, Е.

Завдання 4.2. Вирішіть на відрізку [x0, xend] Завдання Коші  методом Рунге-Кутта з постійним кроком. Вид рівняння і початкові значення задані в таблиці 3. Зобразіть графіки рішень, обчислених з кроками h , 2h и h/ 2.

Таблиця 3 - Дані для розрахунку

 варіант  функція x0 xend
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1
 0.1

Порядок виконання завдання:

1. Призначте початкове значення рішення змінної у0 .

2. Визначте праву частину рівняння f (x, y).

3. Обчисліть рішення, використовуючи функцію rkfixed з параметром N, обчисленим за формулою N = .

4. Збережіть рішення в матриці У1.

5. Обчисліть рішення, використовуючи функцію rkfixed з параметром N, обчисленим за формулою N = 2 .

6. Збережіть рішення в матриці У2.

7. Обчисліть рішення, використовуючи функцію rkfixed з параметром N, обчисленим за формулою N = .

8. Збережіть рішення в матриці У3.

9. Побудуйте на одному графіку все три знайдених рішення.

10. Оцініть похибки знайдених рішень по формулі Рунге.

Завдання 4.3.Вирішіть задачу Коші

 на відрізку [a, b] Методом Рунге-Кутта з постійним кроком h= 0.1. Зобразіть графіки рішень, обчислених з кроком h, 2h и h/ 2. Вид рівнянь і початкові значення задані в таблиці 4.

Таблиця 4 - Дані для розрахунку

 варіант a b
 -1
 0.5  1.5
 -1

Продовження таблиці 4

 0.2  -1
 0.5  -0.5  -1
 -0.6
 -1
 1.2  1.2
 0.8  3.5

Порядок виконання завдання:

1. Призначте змінний ORIGIN значення, рівне одиниці.

2. Дайте початкове значення рішення змінної у0 .

3. Визначте праву частину рівняння f (x, y).

4. Обчисліть рішення, використовуючи функцію rkfixed з параметром N, обчисленим за формулою N = .

5. Збережіть рішення в матриці У1.

6. Обчисліть рішення, використовуючи функцію rkfixed з параметром N, обчисленим за формулою N = 2 .

7. Збережіть рішення в матриці У2.

8. Обчисліть рішення, використовуючи функцію rkfixed з параметром N, обчисленим за формулою N = .

9. Збережіть рішення в матриці У3.

10. Побудуйте на одному графіку все три знайдені рішення.

11. Оцініть похибки знайдених рішень по формулі Рунге.

Завдання 4.4. Знайдіть спільне рішення лінійного однорідного рівняння другого порядку  . Вирішіть задачу Коші ,  . Зобразіть його графік. значення параметрів а1, а2 и а задані в таблиці 5.

Таблиця 5 - Дані для розрахунку

 варіант a1 a2 y (a) y ? (a) a
 -4
 p / 2
 -p / 2
 -4  0.3
 -1  0.25
 p / 2
 -p / 2
 -4
 -4  -1  0.5

Порядок виконання завдання:

1. Призначте змінний ORIGIN значення, рівне одиниці.

2. Дайте початкове значення рішення змінної у0 .

3. Визначте праву частину рівняння f (x, y).

4. Обчисліть рішення, використовуючи функцію rkfixed з параметром N, обчисленим за формулою N = .

5. Збережіть рішення в матриці У1.

Завдання 4.5. Побудуйте графіки рішення і фазові портрети динамічної системи

моделює взаємодію популяцій при заданих значеннях параметрів a, b, c, d . Значення параметрів задані в таблиці 6. Дослідіть поведінку рішення, змінюючи параметри.

Таблиця 6 - Дані для розрахунку

 варіант a b c d
 3.5
 3.5
 3.5
 3.5
 3.5
 4.5

Порядок виконання завдання:

1. Призначте змінний ORIGIN значення, рівне одиниці.

2. Визначте вектор-стовпець початкових умов для першої задачі Коші.

3. Визначте вектор-стовпець правих частин системи.

4. Виберіть значення кроку інтегрування h і обчисліть кількість кроків N інтегрування системи на відрізку [x0, xend] За формулою N = .

5. Вирішіть задачу Коші для першого початкового умови.

6. Зобразіть відповідну фазову криву і графік вирішення.

7. Визначте вектори-стовпці початкових умов для кожного початкового умови.

8. Вирішіть відповідні завдання, зберігши кожне рішення в окремій матриці.

9. Покажіть відповідні фазові криві і графіки рішень.

Завдання 5.5. Досліджуйте поведінку системи

моделює взаємодію популяцій. Виконайте обчислення для значень a, b, c, d із завдання 7.4 для наведених нижче значень a (таблиця 7).

Таблиця 7 - Дані для розрахунку

 варіант a  варіант a  варіант a
 0.1  0.05  0.17
 0.15  0.22  0.18
 0.20  0.12  0.1
 0.25  0.14  0.2

Список літератури

1. Кудрявцев, Е. М. MathCad 8 / Е. М. Кудрявцев - М: ДМК, 2000. - 320с.

2. Плис, А. І. MathCad 2000: математичний практикум для економістів та інженерів: Навчальний посібник / А. І. Плис, Н. А. Сли-вина - М .: Фінанси і статистика, 2000. - 656с.

3. Турчак, Л. І. Основи чисельних методів: Учеб. посібник / Л. І. Тучак - М .: Физматлит., 2003. -304с.

4. Інформатика: Учеб. посібник / А. В. Могильов, Н. І. Пак, Е. К. Хеннер; Під ред. Е. К. Хеннера. - М .: Видавництво. центр «Академія», 2004. - 848с.

5. Шуп, Т. Рішення інженерних задач на ЕОМ / Т. Шуп - М .: Світ, 1982. -240с.




Формула Сімпсона | додаток А

Завдання 1.3. Для даної матриці М | | РІШЕННЯ СИСТЕМ РІВНЯНЬ. РІШЕННЯ нелінійних рівнянь | ітераційні методи | метод дотичних | інтерполяція функцій | Методи обробки експериментальних даних | Метод найменших квадратів | чисельне інтегрування | метод прямокутників |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати