На головну

ХІД ЗАНЯТТЯ

  1. III. ЗАВДАННЯ ЗАНЯТТЯ
  2. Алгоритм дій по підготовці проекту заняття
  3. Б) по темі заняття

1. Інструктаж по ТБ в комп'ютерному класі.

2. На лабораторному занятті використовується робота в парах (або малих групах).

Студентам необхідно:

- Ознайомитися з основними теоретичними відомостями щодо кожної

з розглянутих тем;

- Відповісти на контрольні питання по по кожній

з розглянутих тем;

- Вивчити рішення загальних вихідних практичних завдань;

- Виконати представлені завдання для малих груп;

- Оформити звіт про лабораторну роботу;

- Захистити лабораторну роботу

Основні теоретичні відомості по темі:

"Матриці. Основні операції з матрицями"

матрицяце прямокутний масив чисел, записаний в форе рядків і стовпців: А = .

Кожне число в матриці називається елементом матриці.

розмірністю матриці називається сукупність двох чисел, що складається з числа її рядків m і числа стовпців n.

Якщо m = n, то матрицю називають квадратної матрицею порядку n.

Операції над матрицями: Транспонування матриці, множення (ділення) матриці на число, додавання і віднімання, множення матриці на матрицю.

Перехід від матриці А до матриці Ат, Рядками якої є стовпчики, а стовпцями -строкі матриці А, називається Транспонированием матриці А.

Приклад: А =  , Ат = .

щоб помножити матрицю на число, Потрібно кожен елемент матриці помножити на це число.

Приклад: 2А = 2 · = .

Сумою (різницею) матриць А і В однакової розмірності називається матриця С = А  В, елементи якої дорівнюють сij = aij bij для всіх i и j.

Приклад: А =  ; В =  . А + В = = .

твором матриці Аm n на матрицю Вn k називається матриця Сm k, Кожен елемент якої cij дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідний елемент j-го стовпця матриці В:

cij= ai1· b1j + ai2· b2j + ... + Ain· bnj.

Щоб можна було помножити матрицю на матрицю, вони повинні бути узгодженими для множення, а саме число стовпців в першій матриці має дорівнювати числу рядків в другій матриці.

Приклад: А =  і В = .

А · В-неможливо, т. К. вони не узгоджені.

В · А = . = = .

Властивості операції множення матриць.

1. Якщо матриця А має розмірність m  n, а матриця В-розмірність n k, То твір А · В існує.

Твір В · А може існувати, тільки коли m = k.

2. Множення матриці не коммутативно, т. Е А · В не завжди дорівнює В · А навіть якщо визначені обидва твори. Однак якщо співвідношення А · В = В · А виконується, то матриці А і В називаються перестановочность.

3. Операція множення матриць асоціативна, Т. Е

(А · В) · С = А · (В · С).

4. Операція множення матриць дистрибутивних по відношенню до алгебраическому додаванню:

А · (В  С) = А · В  А · С;

(А  В)  С = А · З  В · С.

5. Якщо твір А · В визначено, то для будь-якого числа  правильне співвідношення

 (А · В) = (  А) · В = А · (  В).

6. Якщо визначено твір А · В, то безумовно твір Вт· Ат і виконується рівність

(А · В) т = Вт· Ат.

(А · В · С) т = Ст · Вт· Ат,

за умови, що визначено твір матриць А · В · С.

7. Матрицю А можна помножити саму на себе тільки якщо вона квадратна.

8. Твір двох матриць може дати нульову матрицю, хоча жодна з матриць-співмножників не є нульовою.

Дві матриці називаються еквівалентними або рівносильними (але не рівними), якщо одна з них може бути отримана з іншої елементарними перетвореннями.

Елементарні перетворення матриць:

- зміна місцями двох рядків (стовпців);

- Множення рядка (стовпчика) на число, відмінне від нуля;

- додаток (віднімання) до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпчика), помножених на одне і те ж число;

- Відкидання рядки (шпальти), що цілком складається з нулів.

Необхідний для повторення теоретичний матеріал по темі:

"Визначники другого, третього і вищих порядків.

Їх властивості і методи обчислення "

Визначником (детермінантом)  -го порядку квадратної матриці називається сума  доданків, кожне з яких дорівнює  де  - Твір елементів матриці  , Взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця, а  - Число інверсій в перестановці, складених з номерів стовпців.

Визначник 2-го порядку знаходиться за визначенням:

.

приклад. обчислити .

Рішення. .

Визначник 3-го порядку можна знайти за допомогою мнемонічних правил.

приклад. обчислити .

Рішення.

1) .

2) .

мінором  елемента  називається визначник матриці  порядку, отриманий викреслюванням  -ої рядки  -го стовпчика.

алгебраїчним доповненням  елемента  називається .

Теорема розкладання Лапласа:

Детермінант квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

приклад. обчислити .

Рішення. .

Властивості визначників n-го порядку:

1) Величина визначника не зміниться, якщо рядки і стовпці поміняти місцями.

2) Якщо визначник містить рядок (стовпець) з одних нулів, то він дорівнює нулю.

3) При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак.

4) Визначник, який має дві однакові рядки (шпальти), дорівнює нулю.

5) Загальний множник елементів будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

6) Якщо кожен елемент деякого рядка (стовпця) являє собою суму двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, в кожному з яких всі рядки (стовпці), крім згаданої, такі ж, як і в даному визначнику, а в згаданій рядку ( стовпці) першого визначника стоять перші доданки, другого - другі.

7) Якщо у визначнику два рядки (стовпці) пропорційні, то він дорівнює нулю.

8) Визначник не зміниться, якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпчика), помножені на одне і те ж число.

9) Визначники трикутних і діагональних матриць рівні твору елементів головної діагоналі.

Метод накопичення нулів обчислення визначників заснований на властивостях визначників.

приклад. обчислити .

Рішення. Віднімемо від першого рядка подвоєну третю, далі використовуємо теорему розкладання по одну колонку.

~ .

Контрольні питання(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

1. Що називається визначником другого порядку?

2. Які основні властивості визначників?

3. Що називається мінор елемента?

4. Що називається алгебраїчним доповненням елемента визначника?

5. Як розкласти визначник третього порядку за елементами будь-якої рядки (шпальти)?

6. Чому дорівнює сума добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця), визначника по алгебраїчним доповненням відповідних елементів іншого рядка (або стовпця)?

7. У чому полягає правило трикутників?

8. Як обчислюються визначники вищих порядків методом зниження порядку

9. Що таке прямокутна матриця?

10. Яка матриця називається квадратної? Нульовий? Що таке матриця-рядок, матриця-стовпець?

11. Які матриці називаються рівними?

12. Дати визначення операцій додавання, множення матриць, множення матриці на число

13. Яким умовам повинні задовольняти розміри матриць при додаванні, множенні?

14. У чому полягають властивості алгебраїчних операцій: коммутативность, асоціативність, дистрибутивність? Які з них виконуються для матриць при додаванні, множенні, а які ні?

15. Що таке зворотна матриця? Для яких матриць вона визначена?

16. Сформулювати теорему про існування та єдність оберненої матриці.

17.Сформулювати лему про транспонировании твори матриць.

Практичні завдання загальні(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

№1. Знайти суму і різницю матриць А і В:

а)

б)

в)

№2. Виконайте дії:

а) С = 2А + 3В

б)  D = А-3С

в) Z = -11А + 7В-4С + D

якщо

№3. Виконайте дії:

а)

б)

в)

№4. За допомогою застосування чотирьох способів обчислення визначника квадратної матриця, знайти визначники наступних матриць:

а)

в)

№5. Знайти визначників n-ого порядку, за елементами стовпчика (рядка):

а)  б)

№6. Знайти визначник матриці, використовуючи властивості визначників:

а)  б)

Завдання для роботи в парах(ОК-1, ОК-20, ОК-22):

№1. Перевірте справедливість формули (АВ) С = А (ВС), для матриць:

.

№2. Перевірте справедливість формули А (В + С) = АВ + АС, для матриць:

.

№3. Перевірте справедливість формули  , Для матриць:

.

№4. Перевірте справедливість формули  , Для матриць:

.

№5. Обчислити визначник матриці будь-яким з чотирьох запропонованих способів:

.

.

№6. Знайдіть визначники, використовуючи відомі вам способи:

а)  б)

Тести для роботи в парах по темі «Матриці і визначники» (ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

1. Дана матриця  . Відзначте вірні висловлювання про цю матриці:

це матриця розміру ;

це квадратна матриця;

це матриця розміру ;

;

.

2. Дана матриця  . Відзначте вірні висловлювання:

це квадратна матриця третього порядку;

це одинична матриця;

елементи  утворюють головну діагональ матриці;

це матриця розміру ;

всі елементи матриці, що знаходяться поза головною діагоналі

дорівнюють нулю.

3. Нехай Е - Одинична матриця порядку 4. Відзначте вірні висловлювання:

в матриці Е 16 елементів;

в матриці Е 12 нульових елементів;

після транспонування матриці Е всі її нульові елементи

замінюються одиницями;

транспонування не змінює матрицю Е;

Е+Е = Е.

4. Нехай А - Довільна матриця 3-го порядку, Е - Одинична матриця того ж порядку. Відзначте вірні рівності:

;

;

;

;

.

5. Відзначте вірні твердження:

операція додавання виконується тільки над матрицями однакового розміру;

операція транспонування зберігає розмір будь-якої матриці;

квадратні матриці довільних порядків узгоджені;

щоб помножити матрицю на скаляр, треба кожен елемент матриці помножити на цей скаляр;

при множенні матриці розміру  на матрицю розміру  виходить матриця розміру .

6. Вкажіть такі операції, які не можна виконувати над квадратними матрицями порядку 4:

віднімати;

складати;

множити один на одного;

ділити на число, відмінне від нуля;

ділити один на одного.

7. Рівність  виконується

для всіх одиничних матриць довільного порядку;

тільки для одиничних матриць довільного порядку;

для всіх квадратних матриць;

тільки для квадратних матриць;

для довільної матриці А.

8. Рівність А+В = В+А виконується

для довільних матриць А, В однакового розміру;

для квадратних матриць однакового порядку;

тільки для квадратних матриць однакового порядку;

тільки, якщо одна з квадратних матриць А або В є одиничною матрицею;

тільки, якщо обидві матриці є поодинокими матрицями однакового порядку.

9. Рівність  справедливо

для будь-яких узгоджених матриць А и В;

якщо хоча б одна з матриць є одиничною матрицею,

узгодженої з іншого матрицею;

для довільних квадратних матриць однакового порядку;

якщо хоча б одна з матриць є матрицею виду  (де  - Довільна константа), а інша - з нею узгоджено;

якщо одна з матриць є вектор - стовпцем, а інша - узгодженої з першої вектор - рядком.

10. Операція множення матриці А на себе здійсненна

для довільної матриці А;

для квадратної матриці А;

тільки для квадратної матриці А;

для одиничної матриці А;

тільки для одиничної матриці А.



глосарій | Поняття визначника вводиться тільки для
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати