Головна

Центральна гранична теорема.

  1. Взаємозамінність факторів виробництва. Изокванта. Гранична норма технологічного заміщення.
  2. Питання 3. Гранична виручка фірми-монополіста
  3. Закон великих чисел і центральна гранична теорема
  4. Кардиналістський теорія поведінки покупця. Загальна і гранична корисність.
  5. Лекція 4. Конфлікт - центральна категорія конфліктології.
  6. Загальна і гранична корисність блага. Споживчий вибір і його особливості. Криві байдужості, бюджетна лінія і оптимум споживача.

Добре відомо, що більшість зустрічаються в природі випадкових величин мають розподіл, принаймні дуже близьке до нормального. Теоретичне пояснення цьому факту дає центральна гранична теорема Ляпунова.

Розглянемо, як і в попередньому випадку, суму незалежних випадкових величин  , Але не усереднену по

,

а нормовану:

де

Правила знаходження математичного очікування і дисперсії суми незалежних випадкових величин дозволяють стверджувати, що  а випадкові величини з такими властивостями називаються нормованими.

Визначення 1. Будемо говорити, що послідовність незалежних випадкових величин  задовольняє умові Ляпунова, якщо

Пояснимо зміст умови Ляпунова. для довільного  розглянемо випадкові події

які полягають в тому, що складові нормованої суми  по абсолютній величині перевершують  Неважко бачити, що

 (2)

За умовою Ляпунова вираз справа в (2) прагнути до нуля. Таким чином, всі складові нормованої суми  рівномірно малі в тому сенсі, що ймовірність хоча б одного з них перевершити за абсолютною величиною  прямує до нуля при зростанні числа доданків.

Умова Ляпунова буде виконано, якщо незалежні випадкові величини

 мають одне і теж математичне сподівання, дисперсію і абсолютний центральний момент третього порядку:

Дійсно, в цьому випадку

Зокрема, умова Ляпунова буде виконано, якщо незалежні випадкові величини  мають одне і теж розподіл.

Теорема 1 (Центральна гранична теорема Ляпунова). нехай  - Незалежні випадкові величини, що мають будь-які розподілу, що задовольняють умові Ляпунова. Тоді функція розподілу  випадкової величини  при  поточечно сходиться до функції розподілу  випадкової величини, розподіленої за нормальним стандартному закону.

Центральною граничною теоремою користуються для наближеного обчислення ймовірностей, пов'язаних з сумами великого числа незалежних і однаково розподілених випадкових величин. При цьому розподіл нормованої суми замінюють на стандартний нормальний розподіл, а за розподіл суми  беруть нормальний закон розподілу з параметрами и  Цим пояснюється той факт, що вся класична математична статистика будується тільки для нормально розподілених випадкових величин, і при цьому вважається прийнятною завжди. Але наскільки велика помилка заміни розподілу випадкової величини  на стандартний нормальний розподіл? Наступна теорема дозволяє оцінити похибка такої заміни.

Теорема 2 (Нерівність Бери-есе).

Нехай незалежні випадкові величини  мають одне і теж математичне сподівання, дисперсію і абсолютний центральний момент третього порядку:

,

 функція розподілу нормованої суми  . тоді  де

Приклад 1. У касі установи є сума  в черзі стоїть  людина, сума  яку потрібно виплатити окремій людині, є випадковою величиною, із середнім значенням 150 р. і  р. знайти:

1. Імовірність того, що суми  не вистачить для виплати всім людям у черзі.

2. Яку суму  треба мати в касі, щоб з ймовірністю  її вистачило для всієї черги.

Рішення. при  вже можна вважати, що випадкова величина

має нормальний закон розподілу з параметрами

тоді:

1.

2.  За таблицями знаходимо, що для цього має виконуватися нерівність  , звідки

рекомендована література

1. Н. Ш. Кремер. Теорія ймовірностей і математична

статистика. М .: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

2. В. Е. Гмурман. Теорія ймовірностей і математична статистика. М .: Вища школа, 2004.

Закон великих чисел. | Поняття про систему кількох випадкових величин.

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати