Головна

П. 1.7. ТЕОРЕМА ПОВНОГО ІМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА Байєса

  1. C) Теорема загасання (Теорема зсуву)
  2. Q Випадки повної матеріальної відповідальності
  3. Аналітичне рішення систем неоднорідних диференціальних рівнянь (формула Коші)
  4. Аналітичне рішення систем неоднорідних диференціальних рівнянь (формула Коші)
  5. Анжерская формула
  6. Будучи особами, ми вимагаємо повної відповідальності від самих себе; будучи партнерами, ми підтримуємо відповідальність інших.

Наведена нижче формула об'єднує теореми додавання і множення. імовірність події A, Яке може статися за умови здійснення одного з несумісних подій В1, В2, В3, ... Bn, Що утворюють повну групу, визначається формулою

(1.7.1)

Для настання події A необхідно і достатньо настання або події AB1, Або події АВ2, Або події АВ3, ..., Або події ABn,

А = АВ1+ АВ2+ АВ3+ ... + АВп

Так як події АВi несумісні, то  тому  (1.7.2)

Приклад. Азотне добриво надходить на склад господарства з пункту 1 і пункту 2, причому, з 1-го пункту в 2 рази більше, ніж з 2-го. Імовірність події = {добриво з першого пункту задовольняє стандарту} 0,9, а відповідна ймовірність для другого пункту дорівнює 0,7. Визначити ймовірність події А = {узяте для проби на складі господарства добриво задовольняє стандарту}.

Рішення. позначимо

подія В1 = {добриво надійшло з пункту 1};

подія В2 = {добриво надійшло з пункту 2};

знаходимо

, , , ;

подія А має велику ймовірність, воно практично достовірно, т. е. настане в середньому в 83 випадках з 100.

Формула Байєса. Розглянемо наступну задачу. На фермах А і В стався спалах захворювання ящуром. Частки зараження худоби становлять відповідно 1/6 і 1/4. Випадковим чином відібрана з однієї ферми тварина виявилося хворим. Знайти ймовірність події = {тварина вибрано з ферми А}. позначимо:

А = {відібране тварина заражене};

подія В1 = {тварина вибрано з ферми А}, Р (B1) = 0,5;

подія В2 = {тварина вибрано з ферми У}, Р (B2) = 0,5;

А / В1 = {Тварина, відібране з ферми А, заражене};

A / B2 = {Тварина, відібране з ферми У, заражене}.

Імовірність події = {тварина вибрано з ферми А і заражене} можна записати у вигляді Р (А) • Р (В1/ А) = P (B1) • Р (А / В1), звідки

 (*)

або

Замінивши в (*) Р (А) на  , отримаємо

·  (* *)

Формула (* *) є окремим випадком формули Байеса.

Розглянемо задачу в загальному вигляді. Нехай в результаті випробування відбулася подія А, Яке могло наступити тільки разом з кожним з подій B1, В2, В3, ..., Вп, Що утворюють повну групу; P(B1), Р(В2), ..., Р(Вп) Заздалегідь відомі. Потрібно знайти ймовірності подій В1, B2,..., Вп після випробування, коли подія А вже мало місце, т. е. P(Bi/ A), i= 1, 2, ..., п.

Проводячи міркування, аналогічні наведеним при вирішенні завдання, отримаємо формулу

 (1.7.3)

Ця формула називається формулою Байеса. За формулою (1.7.3) можна обчислити ймовірності подій Вi, Коли подія А відбулося, т. е. переоцінити ймовірності.

 



Теорема додавання ймовірностей для випадку, коли події сумісні. | Формула Бернуллі

Глава 2. Випадкові величини | Вступ | П. 1.1. ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. | П. 1.2. Загальні правила КОМБІНАТОРИКИ. | П. 1.3. ПОДІЇ ТА ЇХ КЛАСИФІКАЦІЯ | П. 1.4. Відносна ЧАСТОТА ПОДІЙ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ | П. 1.5. ЙМОВІРНІСТЬ ПОДІЇ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ | П. 1.6. ТЕОРЕМИ СКЛАДАННЯ І МНОЖЕННЯ | Теорема множення ймовірностей. | Вероятнейшее число появ події при повторенні випробувань. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати