Головна

Перетворення подібності. Властивості. Аналітичне задання.

  1. III етап - кисневий етап перетворення енергії
  2. Аналітичне вирівнювання рядів динаміки
  3. Аналітичне задання інверсії та деякі інші її властивості.
  4. Векторний добуток векторів та його властивості.
  5. Високоякісні підсилювачі ППС із перетворенням.

Нехай задано дійсне число .

Означення. Перетворення площини, при якому відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів, називається перетворенням подібності з коефіцієнтом подібності .

Згідно з означенням, якщо точки та відображаються при перетворенні подібності з коефіцієнтом на точки та , то .

Такі перетворення існують і прикладом може бути гомотетія з довільним коефіцієнтом , при якій, як ми знаємо, відстані між точками змінюються в разів. Позначатимемо перетворення подібності з коефіцієнтом символом .

Перетворення подібності з коефіцієнтом є рухом, оскільки воно не змінює відстані між точками. Тому рухи є частинним випадком перетворень подібності.

Множина всіх перетворень подібності утворює групу. Справді, композиція двох перетворень, які змінюють відстані між образами точок в та число разів теж буде перетворення подібності, яке змінює відстані між парами відповідних точок у разів. Перетворення, обернене до , змінює відстані між прообразами в разів, тобто .

Встановимо зв'язок між групою перетворень подібності та групою афінних перетворень. Нехай - деяке перетворення подібності з коефіцієнтом . Тоді , де - гомотетія з центром у довільній точці та коефіцієнтом , - рух. Тому

.

Таким чином, довільне перетворення подібності з коефіцієнтом можна представити у вигляді композиції гомотетії з довільним центром і коефіцієнтом та руху. Оскільки обидва дані перетворення є афінними, то група перетворень подібності є підгрупою групи афінних перетворень і їй характерні всі властивості цієї групи.

Отже, при перетворенні подібності

1) колінеарні вектори відображаються у колінеарні;

2) пряма відображається на пряму, причому паралельні прямі переходять у паралельні прямі;

3) відрізок переходить у відрізок, а точка, яка ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Зокрема середина відрізка переходить у середину відрізка;

4) півплощина переводиться у півплощину;

5) зберігаються величини кутів, зокрема перпендикулярні прямі переходять у перпендикулярні.

6). Перетворення подібності можна задавати відповідністю двох реперів та , де

, , ,

- кут між векторами та . Нагадаємо, що при такому способі задання перетворення точці , яка розглядається у початковому репері, ставиться у відповідність точка з такими ж координатами, але уже відносно другого репера.

Як наслідок, можна стверджувати, що перетворення подібності можна задавати відповідністю трьох пар неколінеарних точок при умові, що .

Використаємо одержаний вище факт для виведення співвідношень, які аналітично задають перетворення подібності. Розглянемо гомотетію з коефіцієнтом та центром у початку прямокутної декартової системи координат - точці . Нехай при цій гомотетії точка переходить у точку , а при русі точка переходить у точку . Оскільки при цьому будуть виконуватися рівності

та

(див. л. 27, п. 1), то отримуємо співвідношення

, (6)

які і є аналітичним вираженням перетворень подібності.

Поклавши у співвідношеннях (2) , можна шукати інваріантні точки даного перетворення.

Оскільки при гомотетії не змінюється орієнтація площини і при рух теж не змінює орієнтацію площини, то у цьому випадку не змінює орієнтацію площини. Такі перетворення називають перетвореннями подібності першого роду.

При рух змінює орієнтацію площини на протилежну, тому перетворення теж змінює орієнтацію площини. Його називають перетворенням подібності другого роду.

Назвемо дві фігури та подібними, якщо у групі перетворень подібності існує перетворення, яке фігуру відображає на фігуру .

Той факт, що фігура подібна до фігури , будемо записувати у виді ~ .

Два довільні кола, квадрати та інші правильні многокутники із однаковим числом сторін, ромби з однаковим відношенням діагоналей - подібні. Із шкільному курсі геометрії відомі ознаки подібності трикутників, згідно з якими два трикутники подібні, якщо: 1) їхні сторони пропорційні, 2) вони мають по дві пропорційні сторони та рівні кути між ними, 3) вони мають по два рівні кути.

Відношення подібності є рефлексивним, симетричним та транзитивним. Справді:

1) ~ , оскільки кожна фігура відображається на себе тотожнім перетворенням; яке, очевидно, є перетворенням подібності;

2) якщо фігура подібна фігурі , то фігура подібна фігурі , оскільки вона відображається на неї оберненим перетворенням;

3) якщо фігура ~ та ~ , то ~ , оскільки фігура відображається на фігуру перетворенням подібності, яке є композицією двох перетворень подібності, перше з яких переводить у , а друге - у .

Таким чином відношення ~ "бути подібним", задане на множині всіх геометричних фігур, є відношенням еквівалентності. Дане відношення розбиває цю множину на класи еквівалентності, кожний із яких називають формою фігури.

 



Властивості гомотетій. | Приклади задач.

Композиції деяких геометричних перетворень. | Поняття афінного перетворення площини. Група афінних перетворень. | Властивості афінних перетворень. | Афінна еквівалентність фігур. | Відношення площ афінно еквівалентних фігур. | Поняття переміщення. Способи задання переміщень. | Властивості рухів. | Частинні випадки рухів. | Приклади задач, розв'язання яких ґрунтується на застосуванні переміщень. | Гомотетія. Означення. Способи задання. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати