На головну

інтервальні оцінки

  1. VI. Показники за критеріями оцінки конкурсних робіт та методика оцінки конкурсних робіт
  2. VII. КРИТЕРІЇ ОЦІНКИ КУРСОВОЇ РОБОТИ
  3. АЛГОРИТМ ОЦІНКИ ФІЗІОЛОГІЧНИХ РЕФЛЕКСОВ НОВОНАРОДЖЕНИХ
  4. Бально-рейтингова система оцінки якості освоєння навчальної дисципліни (модуля)
  5. Види оцінки основних фондів
  6. Види оцінки основних фондів і їх розрахунок

інтервального називається оцінка, яка визначається двома числами - початком і концомм інтервалу, в якому знаходиться оцінюваний параметр теоретичного розподілу з певною ймовірністю.

Нехай знайдена за даними вибірки статистична оцінка  є оцінкою невідомого параметра  . статистична оцінка  тим точніше визначає параметр  , Чим менше абсолютна величина різниці  , Т. Е., Якщо и

 , (5.26)

то чим менше  , Тим оцінка точніше. Таким чином, величина характеризує точність оцінки.

Т. к.  - Випадкова величина, то не можна категорично стверджувати, що  задовольняє нерівності (5.26). імовірність  , З якої виконується нерівність (5.26) називається надійністю (довірчою ймовірністю).

 . (5.27)

зазвичай  задається наперед у вигляді числа, близького до одиниці, найбільш често - 0,95; 0,99; 0,999.

Замінимо нерівність у формулі (5.27) рівносильним подвійним нерівністю:

.

інтервал  називають довірчим, Його межі - довірчими межами.

Довірчий інтервал покриває невідомий параметр  з надійністю .

Якщо випадкова величина X розподілено нормально з математичним очікуванням рівним a і середньоквадратичним відхиленням відомим і рівним  , То за вибіркою обсягу n можна знайти довірчі кордону для математичного очікування a по вирівняні

;

 , (5.28)

де aн и aв - Нижня і верхня довірчі кордону математичного очікування a;

t - Коефіцієнт, що визначається за таблицею функції Лапласа, якому відповідає значення функції Лапласа  . В цьому випадку

 . (5.29)

Аналіз формули (5.29) показує, що

- При зростанні обсягу вибірки n число  убуває і, отже, точність оцінки зростає;

- При збільшенні надійності  зростають значення t (функція  є зростаючою) і  , Що призводить до зменшення точності оцінки;

- Якщо потрібно оцінити математичне сподівання з наперед заданою точністю  і надійністю  , То мінімальний обсяг вибокі, який забезпечить цю точність знаходять за формулою

 . (5.30)

Формула (5.30) використовується для повторної вибірки, для бесповторной вибірки мінімальний обсяг перераховують за формулою

 , (5.31)

де N - Генеральної сукупності.

приклад 1. Випадкова величина X має нормальний розподіл з відомим середньоквадратичним відхиленням  . Знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного очікування a по  , якщо и .

Рішення.

За умови

;

;

.

обчислюємо

.

Отримали шуканий довірчий інтервал:

;

.

.

приклад 2. Знайти мінімальний обсяг повторної і бесповторной вибірок для генеральної сукупності з об'ємом N = 1000 с  , При якому точність оцінки математичного очікування нормально розподіленого ознаки дорівнюватиме 0,2 при .

Рішення.

;

;

;

.

Приймаємо обсяг повторної вибірки n = 385.

Для бесповторной вибірки

.

Приймаємо обсяг бесповторной вибірки .

Якщо випадкова величина X розподілена нормально з математичним очікування рівним a і середньоквадратичним відхиленням  невідомим, то по вибірці об'єму n можна знайти довірчі кордону для математичного очікування a за формулами

;

 , (5.32)

де S - Виправлене середнє квадратичне відхилення;

 - Коефіцієнт Стьюдента, який визначається за таблицею в залежності від надійності  і числа ступенів свободи, рівну .

При необмеженому зростанні обсягу вибірки n розподіл Ст'юдента прагне до нормального, тому при n> 30 в формулах (5.32)  можна замінити на .

Якщо випадкова величина X розподілена нормально і середньоквадратичне відхилення  невідомо, то оцінити його помжно по виправленому середньоквадратичного відхилення S, Розрахованому для вибірки обсягу n, За формулами

;

 , (5.33)

де ,  - Нижня і верхня довірчі кордону середнє відхилення ;

q - Коефіцієнт розподілу  , Що визначається за таблицею в залежності від  і обсягу вибірки n.

якщо q <1, То з огляду на, що , .

приклад. Випадкова величина X має нормальний розподіл. За вибіркою обсягу n = 10 знайдено виправлене середньоквадратичне відхилення S = 0,16. Знайти довірчий інтервал, що покриває невідоме середньоквадратичне відхилення  з надійністю .

Рішення.

По таблиці знайдемо q = 1,8 (q> 0) при и n = 10.

Шукані довірчі кордону довірчого інтервалу:

;

.

Практичне застосування формули (5.28) і (5.32) отримали для оцінки істинного значення вимірюваної величини, формули (5.33) - для оценці точності вимірювань (точності приладу).

Якщо випадкова величина X має біномінальної розподіл, то оцінити невідому ймовірність p появи події A в кожному випробуванні можна, розрахувавши довірчі кордону за формулами

;

де рн и рв - Нижня і верхня довірчі кордону невідомого значення ймовірності p;

w - Відносна частота (точкова оцінка для p).

,

де m - Число появи події A;

n - Число випробувань.

приклад. Проводять незалежні випробування з однаковою, але невідомої ймовірністю p появи події A в кожному випробуванні. Знайти довірчий інтервал для оцінки p з надійністю 0,95, якщо в 80 випробуваннях подія A з'явилося 16 раз.

Рішення.

За умовою m = 16, n = 80, .

знайдемо .

знайдемо t по таблиці функції Лапласа зі співвідношення .

Підставивши n, w, t в формулу (5.34), отримаємо

, .

При великих значеннях n (Порядку сотень) складові и  дуже малі і множник  , Тому довірчі кордону можна розрахувати за формулами

;

 . (5.35)

 



Точкові оцінки. | Види статистичних гіпотез

Основні (типові) закони розподілу НСВ | Загальні відомості | Табличне представлення закону розподілу двовимірної СВ | Інтегральна функція розподілу двовимірної СВ | Диференціальна функція розподілу неперервної двовимірної СВ | Залежні і незалежні СВ | теорія вибірок | Способи формування вибірки | Статистичний розподіл вибокі | Числові характеристики вибірки |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати