На головну

Диференціальна функція розподілу неперервної двовимірної СВ

  1. Z-функція рядка і її обчислення
  2. Адресна функція
  3. Векторна функція скалярного аргументу.
  4. Імовірність безвідмовної роботи і щільність розподілу часу до відмови
  5. Питання 1. Виробнича функція і її властивості
  6. Питання 50. Поняття строфи, види строф. Онєгінська строфа. Її будова, походження і художня функція.

Диференціальна функція розподілу неперервної двовимірної СВ (Щільність розподілу неперервної двовимірної СВ, двовимірна щільність ймовірностей)  - Це друга змішана похідна від функції розподілу

 (4.4)

або (що випливає з визначення похідної)  - Це межа відносини ймовірності попадання випадкової точки в елементарний ділянку площині, що примикає до точки  , До площі цієї ділянки, коли його розміри прямують до нуля.

Поверхня, що зображає функцію  називається поверхнею розподілу.

інтегральна функція  виражається через  формулою

 (4.5)

величина  називається елементом ймовірності для системи двох СВ і дорівнює ймовірності попадання випадкової точки  в елементарний прямокутник зі сторонами ,  , Що примикає до точки .

Ймовірність влучення випадкової точки  в довільну область  визначається формулою

 (4.6)

Для прямокутної області

властивості :

1.  є неотрицательная функція .

2. Подвійний невласний інтеграл з нескінченними межами від  дорівнює 1

Якщо всі можливі значення  належать кінцевої області  , то

Щільності окремих величин, що входять в систему двох СВ, можна обчислити через спільну щільність

 (4.7)

Приклад. Система двох СВ  підпорядкована закону розподілу з щільністю

знайти коефіцієнт ,  , Ймовірність попадання випадкової точки  в квадрат, центр якого збігається з початком координат, а сторони мають довжину рівну 2.

Рішення.

з умови  знаходимо

З формули (4.5)

По (4.6)

4.3 Числові характеристики системи двох СВ

Математичне сподівання системи двох СВ :

- Для дискретної

 (4.8)

- Для безперервної

Математичне сподівання складових  системи двох СВ :

- якщо  - ДСВ

 (4.9)

- якщо  - НСВ

 (4.10)

Дисперсія системи двох СВ :

 - Для дискретної - Для безперервної  (4.11)

дисперсія складових  системи двох СВ :

- якщо  - ДСВ

 (4.12)

- якщо  - НСВ

 (4.13)

початковий момент  порядку  системи двох СВ - МО твори :

- Для дискретної

 (4.14)

- Для безперервної

Зокрема ,

центральний момент  порядку  системи двох СВ - МО твори відхилень відповідно  -ої і  -ої ступенів:

 - Для дискретної - Для безперервної    (4.15)

Зокрема

, ,

,

Для характеристики зв'язку між СВ  і СВ  системи двох СВ  служить змішаний центральний момент порядку  , Який отримав назву кореляційний момент (або ковариация)і позначається .

 для дискретної : для безперервної :  (4.16)

абсолютна величина  не перевищує середнього геометричного и

розмірність  дорівнює добутку розмірностей СВ и .

Для характеристики зв'язку між СВ  і СВ  системи двох СВ  незалежно від вибору одиниць вимірювання СВ и  служить коефіцієнт кореляції , рівний відношенню  до твору СКО  і СКО

 (4.17)

або

 , де

 - Нормовані СВ з МО = 0 і СКО = 1.

абсолютна величина не перевищує одиниці .

 є величина безрозмірна. коефіцієнт кореляції характеризує ступінь тісноти лінійної залежності між СВ  і СВ  . Якщо Х і Y зв'язані лінійною функціональною залежністю виду  , де  не випадкові, то  , Де знак «+» або «-» береться у відповідності зі знаком коефіцієнта .

Приклад. Для дискретної двовимірної СВ  , Заданої таблично  розрахувати числові характеристики.

Рішення.

 по (4.8)

и  по (4.9)

 по (4.11)

и  по (4.12)

 по (4.16)

 вірно

 по (4.17)

 вірно.



Інтегральна функція розподілу двовимірної СВ | Залежні і незалежні СВ

Числові характеристики випадкових величин | Форми закону розподілу дискретної випадкової величини | Числові характеристики ДСВ | Основні (типові) розподілу ДСВ. | безперервні СВ | Числові характеристики НСВ | Початковий теоретичний момент | Основні (типові) закони розподілу НСВ | Загальні відомості | Табличне представлення закону розподілу двовимірної СВ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати