На головну

Взаємне перетинання поверхонь (4 група позиційних задач)

  1. I. Ім'я комп'ютера і робоча група
  2. II група
  3. II група
  4. II група
  5. II група
  6. V група аксіом паралельності і її наслідки
  7. Афффінние перетворення і класифікація поверхонь другого порядку

При вирішенні таких завдань використовується метод допоміжних січних площин, який буде розглянуто нижче, див. Ріс.6.16.

Лінія перетину двох поверхонь в загальному вигляді являє собою просторову криву, яка може розпадатися. При перетині багатогранних поверхонь в загальному випадку виходить просторова ламана лінія.

Зазвичай лінію перетину двох поверхонь будують по окремих точках. Спочатку визначають опорні точки в перетині ліній нарисів поверхонь. Опорні точки дозволяють бачити, в яких межах розташовані проекції лінії перетину і де між ними має сенс визначати проміжні точки.

При цьому потрібно мати на увазі, що проекції лінії перетину фігур завжди розташовуються в межах площі накладення однойменних проекцій нарисових ліній пересічних поверхонь.

Загальним способом побудови точок лінії перетину двох поверхонь є спосіб допоміжних січних площин або поверхонь. Допоміжна площина або поверхня перетинає дані поверхні по графічно простим лініях.

У перетині цих ліній виходять точки, що належать обом поверхням, тобто точки їх лінії перетину. В якості допоміжних поверхонь зазвичай використовуються площині або концентричні сфери. (Концентричними називаються сфери, що мають загальний центр і різні радіуси).

Рішення позиційних задач засновано на застосуванні допоміжних січних площин або поверхонь, які треба вибирати і розташовувати так, щоб виконувалося дві умови:

1) лінії перетину допоміжної площини або поверхні і заданих поверхонь повинні мати вигляд прямих ліній або кіл;

2) допоміжні площині або поверхні розташовувати так, щоб проекції лінії перетину були відрізками, прямими або колами, дугами кіл.

Розглянемо загальний алгоритм вирішення:

1) Г i - Допоміжна січна площина або поверхня, i = 1,2,3 ... n;

2) Г iC Si = аi ,

G iC S2 = bi - Проекції ліній перетину a и b повинні бути або прямі, або кола;

3) аi C bi = M i I m - Точки шуканої лінії перетину поверхонь.

Всі точки лінії перетину поверхонь можна розділити на 3 групи:

1 - Габаритні точки кожної з проекцій лінії перетину;

{M } =2 - Точки, що визначають видимість кривою на площинах проекцій;

3 - Випадкові або проміжні точки кожної з проекцій.

6.5.1 Застосування допоміжних січних площин

Завдання.

S1 C S2 = m S1 - Конічна поверхня вращеніяS2 - Сфера.1) G1 || P2 ; G1I 0, GI S2) G1 C S1 = a1 (а12 - Нарис конуса на P2) G1 C S2 = b1 (b12 - Нарис сфери на P2) 3) а1 C b1 = {1, 2} ?? (точки пересеченіяочерков поверхонь на P2), т.1 и 2 гр. 1) G2 I 0 , G2|| P12) G2 C S1= а2 Г2C S2 = b23) а2 C b2 = {3,4} ? точки 1 и 2 групи1) G i || P1 ; 2) G i C S1 = аi G i C S2 = bi ; 3) аi C bi = {5,6} ?? точки 3 групи

малюнок 6.15

Опорні точки (пл. Г1) 1 и 2 є найвищою і нижчої точками лінії перетину, а також точками видимості ліній на площині П2.

Всі проміжні точки будуються за допомогою допоміжних січних горизонтальних площин рівня Г i, Розташованих рівномірно між ними.

Якщо пересічні поверхні обертання не мають загальної фронтальній площині симетрії, то найвищу і найнижчу точки лінії перетину поверхонь визначають, побудувавши зображення цих поверхонь на площину П4, Паралельну осьової площині.

допоміжну площину Г2 беремо на рівні екватора сфери. отримані точки 3 и 4 визначають видимість лінії перетину відносно площини П1.

Графічно прості лінії перетину (окружності) на даних поверхнях виходять від перетину їх горизонтальними площинами рівня Г i.

Вводячи рівномірно між найвищою і нижчої точками лінії перетину допоміжні січні площини, можна отримати достатню кількість проміжних точок побудови лінії перетину.

Горизонтальна проекція лінії перетину будується за належністю її точок конічної поверхні.

Аналогічно вирішуються завдання на взаємне те площин і поверхонь обертання з 3 групи позиційних задач (див. Рис. 6.16 а-е).

а)  б)

в)  г)

д)  е)

малюнок 6.16

6.5.2 Спосіб концентричних сфер

Для обґрунтування застосування сфер, як допоміжних січних поверхонь, розглянемо властивості співвісних поверхонь.



Взаємне перетинання площини і поверхні (3 група позиційних задач) | Співісними поверхнями обертання називаються поверхні, які мають загальну вісь обертання.

Циліндрична поверхня - лінійчата поверхня, утворена паралельним переміщенням прямої (твірної) в просторі, що перетинає криву лінію (напрямну). | Конічної - називається поверхня, утворена безперервним переміщенням прямої лінії (утворює), що проходить через фіксовану точку і перетинає криву (направляючу). | Сфера - поверхня, що складається з точок, рівновіддалених від фіксованої точки. | Спосіб заміни площин проекцій | Основні завдання, які вирішуються заміною площин проекцій | спосіб обертання | метричні задачі | Класифікація позиційних задач | Взаємне перетинання двох площин (1 група позиційних задач) | Взаємне перетинання прямої і площини або поверхні (2 група позиційних задач) |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати