Головна

II-2.4. Прикладні завдання. Приклади керованих процесів

  1. АВТОМАТИЗАЦІЯ БУДІВЕЛЬНИХ ПРОЦЕСІВ
  2. Автоматичне регулювання безперервних процесів.
  3. Безпека технологічних процесів
  4. Взаємодія неалельних генів. Приклади розв'язання типових задач

II-2.4.1. Завдання розподільних капіталовкладень

При складанні п'ятирічного плану будь-галузеве міністерство розглядає значне число  незалежних варіантів капіталовкладень (в підприємства галузі) в різні види основних фондів. Відомо, що для здійснення  -ого варіанту потрібно виділити  рублів.

Загальний обсяг капіталовкладень  cтрого лімітований. Очікуваний дохід від капіталовкладень за  -му варіанту становить  рублів. Крім того, відомо, що загальне число проектів, які можуть бути реалізовані протягом п'ятирічки, не повинно перевищувати  . Кожен варіант капіталовкладень по-своєму унікальний, і потрібно вирішити, приймати його на дану п'ятирічку або відкинути. Потрібно визначити таку стратегію капіталовкладень на п'ятирічку, тобто відібрати декілька видів капіталовкладень, що не перевищує  , Яка дозволяє не перевитрачати даний обсяг капіталовкладень  і отримати максимальний дохід від вкладених коштів.

Всі перераховані умови можна формалізувати у вигляді следующии моделі:

знайти вектор  , Який доставляє максимальне значення цільової функції

і задовольняє умовам

(Обмеження на загальне число проектів),

(Обмеження на обсяг капіталовкладень),

Розглянемо операцію вибору проектів капіталовкладень з  - Запропонованих проектів як  -шаговий процес, розуміючи під кроком розгляд одного проекту з номером ,

стан системи  на початку k-ого кроку, що складається в розгляді  -ого проекту, будемо характеризувати двома фазовими параметрами:  - Кількість капіталовкладень, що залишився нерозподілений до початку k-ого кроку,  - Кількість проектів, яке ще можна прийняти, тобто

,

Під керуючим рішенням  , Прийнятою в стані  , Будемо розуміти рішення про варіант з номером k. Будемо вважати, що  , Якщо варіант  прийнятий,  , Якщо варіант  відкинутий. Таким чином, крокові управління полягає у виборі єдиної змінної yk, Що приймає на кожному кроці тільки два значення

,

При прийнятті рішення  щодо  -ого проекту витрати складуть  рублів (або  при  , Або 0  ), Тобто до початку  -го кроку (до моменту розгляду  -го проекту) залишиться нерозподіленим  рублів капіталовкладень, а кількість проектів, яке можна ще прийняти, зменшиться на величину  , Тобто стане рівним

Таким чином, стан системи  визначається на підставі наступного рівняння стану:

Фазові обмеження, очевидно, мають такий вигляд:

,

 - Цілі,

При прийнятті на k-ом кроці рішення yk кроковий дохід складе, очевидно,

 рублів =

Дохід від всієї операції в цілому є

.

Таким чином, завдання оптимізації N-шагового процесу вибору проектів капіталовкладень має вигляд

II-2.4.2. Завдання про тваринницькому комплексі

Тваринницький комплекс має стадо худоби. Щорічно частина худоби відправляється на м'ясозаготівлі, інша частина залишається на фермі для відтворення. Мінімальні щорічні мясопоставкі складають  (Планове завдання). Дохід від продажу худоби мясозаготовітельним організаціям виражається функцією  , де y - Кількість проданої худоби, функція  може, наприклад, мати вигляд, показаний на рис. 11 (поставки м'яса понад планового завдання ck оплачуються за вищими цінами).

 - Планове завдання

Мал. 11 Приклад залежності доходу від продажу худоби

Кількість худоби, залишене для відтворення, в наступному році (до початку заготовок) збільшується в  раз  . Потрібно визначити, яка кількість худоби необхідно продавати щороку протягом планового періоду, щоб в кінці планового періоду отримати максимальний дохід, якщо відомо початкова кількість худоби на комплексі, рівне  , І довжина планового періоду -  років.

Розглянемо задачу визначення щорічних мясозаготовок як  - Кроковий керований процес. позначимо через  початкова кількість худоби на комплексі, а через  - Кількість худоби, що є на комплексі до початку  -го року (залишено для відтворення в  -м році),  тобто будемо описувати стан системи (комплексу) одновимірним вектором , .

Під керуючим рішенням  , Прийнятою в состояни,  будемо розуміти рішення про продаж  одиниць худоби в  -м році (в кінці  -го року), .

кількість худоби  , Наявне на початку k-го року, протягом k-го року збільшується в  раз, тобто в кінці k-го року на комплексі буде  одиниць худоби. З цієї кількості худоби  буде продано, тобто до початку  -го року на комплексі залишиться ·  одиниць худоби, яке і визначає стан системи (комплексу) на початку наступного року.

Отже, можна записати наступне рівняння стану:

, , .

За змістом задачі накладаються фазові обмеження ,  і обмеження на управляє рішення yk, Що враховують обов'язкові мясопоставкі і наявну кількість худоби до моменту продажу:

,

Дохід, отриманий комплексом від продажу  одиниць худоби в кінці k-го року, становить  , Дохід комплексу за N років становить

Таким чином, завдання визначення оптимальних щорічних мясозаготовок


 має такий вигляд:

,

У поставленому завданню кількість худоби, що залишається до початку наступного року, ніяк не регламентується, тому є єдине фазовий обмеження

Якщо є планове завдання на розведення худоби на початку кожного року, то фазовий обмеження матиме вигляд  , де  - Планове завдання, що спричинить за собою і зміну в обмеженнях на управляє рішення про продаж yk одиниць худоби. Так як

,

Постановку даної задачі можна узагальнити [5], якщо врахувати, що витрати на догляд і прокорм  голів худоби протягом k-го року рівні  . У цьому випадку дохід, що отримується комплексом в k-ом року, буде дорівнює g(  , А дохід за N років складе

У цьому випадку завдання визначення оптимальних мясозаготовок

 протягом N років матиме вигляд

,

II-2.4.3. Транспортна задача (про перевезення сировини (товарів) від постачальників (складів) до споживачів (заводам))

Нехай число складів дорівнює 3, а число заводів  . Припустимо, що є тільки один вид сировини і запас сировини дорівнює попиту, тобто

,де

.

Вартість перевезення y одиниць з  -ого складу на  -й завод виражається функцією  (Рис. 12). Потрібно з мінімальними витратами перевезти сировину зі складів на заводи.

Мал. 12 Вартість перевезення y одиниць сировини з  -ого складу на  -й завод

Розглянемо цю операцію перевезення вантажів від трьох постачальників до  споживачам як  -шаговий керований процес, розуміючи по кроком перевезення вантажу від трьох складів на один завод (повне задоволення його потреб).

позначимо через  кількість вантажу (сировини), яке залишилося не вивезеним на i-м складі до початку  -го кроку (  -й крок - перевезення вантажу  -му заводу),

Таким чином, стан системи (склади-заводи) буде описувати тривимірний вектор

Так як запас сировини дорівнює попиту, після вивезення сировини на все  заводів склади залишаться порожніми, тобто .

позначимо через  кількість вантажу (сировини), яке перевозиться з  -го складу на  -й завод, і будемо розуміти під керуючим рішенням (кроковим управлінням), прийнятою в стані  тривимірний вектор

Так як потреба в сировині  -го заводу становить ,

звідки

Таким чином, можна вважати, що управляє рішення на k-м кроці полягає у виборі двох керуючих змінних  , Тобто крокові управління є двовимірний вектор  . Очевидно, що після прийняття на k-м кроці рішення  на складах залишається до початку (k+1) -го Кроку відповідно

,

тобто рівняння стану має вигляд , , ,

Записуючи рівняння стану по кроках, отримаємо:

;

;

...

;

Таким чином, третя фазова координата  залежить від перших двох, тобто можна вважати, що стан системи на k-ом кроці описується двовимірним вектором

На фазові змінні накладаються обмеження

,

, , ,

на керуючі змінні

Вартість всіх перевезень по допустимому плану  буде дорівнює

Таким чином, завдання полягає у визначенні допустимого управління (  (Плану перевезень), яке переводить систему з початкового стану  в кінцеве  і при якому цільова функція  приймає мінімальне значення, тобто

, , ,

,

 



II-2.3. Постановка завдання ухвалення рішень на конечношаговом керованому процесі | II-2.5.1. Постановка задачі

Прийняття рішень як особливий вид людської діяльності | Люди приймають рішення і їх роль в процесі прийняття рішень | Класифікація методів прийняття рішень 1 сторінка | Класифікація методів прийняття рішень 2 сторінка | Класифікація методів прийняття рішень 3 сторінка | Класифікація методів прийняття рішень 4 сторінка | Класифікація методів прийняття рішень 5 сторінка | Класифікація методів прийняття рішень 6 сторінка | Дискретний керований процес | II-2. 1. Постановка завдання прийняття рішень на дискретній керованому процесі |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати