На головну

Операції над множинами

  1. Абстрактні операції технологічного процесу підготовки ЛА
  2. Активні (інвестиційні) операції КБ з цінними паперами.
  3. арифметичні операції
  4. арифметичні операції
  5. Арифметичні »операції з моделями
  6. Б. Елементи теорії множин, операції над множинами, квантори
  7. Банківська система РФ і місце в ній комерційних банків. Операції, ліквідність, групи комерційних банків РФ.

визначення 1. об'єднанням множин и  називається безліч  , Що складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з множин  або .

Використовуючи логічну символіку, об'єднання двох множин можна записати так:

.

 
 


Приклади.

1) , , .

2) , , .

3) , .

визначення 2. перетином множин и  називається безліч  , Що складається з елементів, що належать як множині  , Так і безлічі .

Використовуючи логічну символіку, можна записати

.


якщо  , То кажуть, що безлічі и  не перетинаються.

Приклади.

1) , , .

2) , , .

3) , .

Операції об'єднання і перетину мають наступні властивості:

1. комутативну:

а)  ; б) .

2. асоціативного:

а)  ; б) .

3. Дистрибутивних:

а) ;

б) .

4. а)  ; б) .

5. Якщо  , То а)  ; б) .

6. а)  ; б) .

Доказ властивості 3а)

нехай и и  , або и  або  , або

 . (*)

Назад, нехай  або  , або  або и  , або и  або  або  , і и

 . (* *)

З умов (*), (* *) слід справедливість рівності 3а), т. Е.

.

Вправа. Довести самостійно властивості 3б), 5, 6.

Поняття об'єднання і перетину двох множин узагальнюються на випадок довільного числа множин.

нехай  - Безліч індексів і кожному індексу  зіставлено безліч  . безліч  , Елементами якого є безлічі ,  називають системою або сімейством множин.

Визначення 3. Об'єднанням системи множин , називається безліч всіх елементів, що належать хоча б одній з множин системи і позначається

.

Приклад. .

Визначення 4. перетином системи множин , називається безліч всіх елементів, що містяться в кожному безлічі системи і позначається

.

Приклад. .

визначення 5. різницею множин и  називається множина, що складається з тих елементів  , Які не входять до : .


якщо  , То різниця  називається доповненням безлічі в .

Часто доводиться розглядати той чи інший запас множин, які є підмножинами деякого основного безлічі  (Будемо називати його універсальним). В цьому випадку  називається просто доповненням множини  і позначається .

приклади.

1) , , , .

2) , ; , .

3) .

4) Довести принцип подвійності: для будь-яких двох множин  справедливі рівності

а)  ; б) ,

т. е. додаток об'єднання двох множин одно перетинанню їх доповнень, доповнення перетину двох множин одно об'єднанню їх доповнень.

Доведемо а). нехай

 . (*)

Назад, нехай

 . (* *)

З умов (*), (* *) слід рівність

.

Вправа. Довести самостійно рівність 4б).

 



Способи завдання множин | Декартово твір множин

Основні позначення | безлічі | Властивість 10 означає, що кожне дійсне число належить принаймні, одному з множин і. | Вправи для самостійної роботи | Відображення та функції | Способи завдання функцій | Образ і прообраз елемента, безлічі | композиція відображень | Оборотні і зворотні відображення | Ін'єкційних, сюр'ектівние відображення |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати