Головна |
Приклад виконання контрольної роботи 1 (частина 2)Завдання 1. Виконати дії з матрицями: . Рішення. За правилом множення матриць: . відповідь: . Завдання 2. Обчислити визначник матриці: . Рішення. Перетворимо визначник так, щоб в першому рядку всі елементи стали нульовими, за винятком елемента, розташованого в першому стовпці. Для цього помножимо всі елементи першого стовпчика на (-2) і складемо з відповідними елементами другого стовпця: {Тепер помножимо всі елементи першого стовпчика на (-3) і складемо з відповідними елементами третього стовпця} {Розкладемо визначник за елементами першого рядка} {Отриманий визначник 3-го порядку перетворимо так, щоб у другому рядку всі елементи стали нульовими, за винятком елемента в першому стовпці. Для цього помножимо всі елементи першого стовпчика на (-3) і складемо з відповідними елементами другого стовпця} {Тепер помножимо всі елементи першого стовпчика на 2 і складемо з відповідними елементами третього стовпця} {Розкладемо визначник за елементами другого рядка} . відповідь: . Завдання 3. Визначити, чи має матриця зворотний, і, якщо має обчислити її: . Рішення. Обчислимо визначник матриці. Перетворимо його так, щоб в третьому рядку всі елементи, крім, розташованого в першому стовпці, стали нульовими. Помножимо всі елементи першого стовпчика на (-5) і складемо з відповідними елементами другого стовпця: {Помножимо всі елементи першого стовпчика на (-3) і складемо з відповідними елементами третього стовпця} {Розкладемо визначник за елементами третього рядка} . Отже, , Матриця - невироджена і у неї існує зворотна. 1. Транспоніруем вихідну матрицю: . 2. Для кожного елемента транспонованою матриці знайдемо алгебраїчне доповнення: ; ; ; ; ; ; ; ; . 3. Підставляємо в транспоновану матрицю замість елементів їх алгебраїчні доповнення та ділимо кожен елемент на визначник вихідної матриці, отримуємо матрицю, зворотну до вихідної: . 4. Перевіряємо виконання умови: : . відповідь: . Завдання 4. Обчислити ранг матриці . Рішення. Матриця має чотири стовпці і три рядки, тому . Крім того, матриця містить стовпець з нульовими елементами, і все мінори 3-го порядку міститимуть цей нульовий стовпець, крім одного. Обчислимо його: {Перетворимо так, щоб в третьому рядку всі елементи, крім знаходиться в другому стовпці, були нульовими. Помножимо елементи другого стовпчика на 2 і складемо з елементами першого стовпчика. Потім помножимо елементи другого стовпчика на (-3) і складемо з елементами третього стовпця. Розкладемо по елементах третього рядка} . Все мінори 3-го порядку дорівнюють нулю, отже, . Досить знайти хоча б один мінор 2-го порядку, відмінний від нуля, наприклад, . Знайшли мінор 2-го порядку відмінний від нуля, так як всі мінори більш високого порядку дорівнюють нулю, то робимо висновок, що . відповідь: . Завдання 5. Вирішити систему рівнянь методом Крамера: Рішення. 1) Знайдемо визначник системи, складений з коефіцієнтів при невідомих: . 2) Знайдемо визначники , для кожного змінної системи заміною -го стовпчика елементів на стовпець вільних членів системи: ; ; ; . Знаходимо рішення системи: ; ; ; . 3) Перевіряємо знайдене рішення: відповідь: . Завдання 6. Знайти загальне і одне з приватних рішень системи лінійних рівнянь: . Рішення. 1) Запишемо розширену матрицю системи: . 2) Перетворимо матрицю до трикутного вигляду. Для зручності переставимо першу і третю рядки матриці. Потім перетворимо матрицю так, щоб в першому стовпці вийшли всі нулі, крім елемента : 3) Для зручності обчислень переставимо місцями другий і третій стовпці матриці. Запишемо вгорі стовпців назви змінних. Потім помножимо елементи другого рядка на 5 і складемо з відповідними елементами третього рядка: . 4) За базисний мінор візьмемо ненульовий визначник: , До якого увійшли коефіцієнти при змінних: , , - Це залежні змінні, отже, - Незалежна змінна. 5) Висловимо залежні змінні через незалежну : , звідки ; , звідки ; , звідки . 6) Знайдемо одне приватне рішення, наприклад, нехай , тоді ; ; . 7) Перевіримо отримане рішення: . відповідь: Загальне рішення системи: ; ; . Приватне рішення при : ; ; . Завдання 7. Знайти спільне рішення і фундаментальну систему рішень: . Рішення: 1) Визначимо ранг матриці. Перетворення можна проводити тільки з рядками. Тому помножимо всі елементи першого рядка на (-3) і складемо з відповідними елементами другого рядка. Потім помножимо всі елементи першого рядка на (-1) і складемо з відповідними елементами третього рядка. Потім помножимо всі елементи першого рядка на (-2) і складемо з відповідними елементами четвертого рядка: 2) Друга і третя рядки пропорційні, тому одну з них можна викреслити, ранг матриці від цього не зміниться: 3) Для простоти обчислень переставимо другу і третю рядки місцями. Помножимо всі елементи другого рядка на і складемо з відповідними елементами третього рядка: 4) За базисний мінор візьмемо ненульовий визначник даної матриці, наприклад: . До нього увійшли коефіцієнти при змінних , и - Це залежні змінні, отже, незалежними будуть и . Висловимо залежні змінні через незалежні, тим самим знайдемо спільне рішення системи. Отримана після перетворень матриця відповідає системі: , Звідки спільне рішення: 5) Фундаментальна система рішень буде містити рішень, тобто з 2 рішень, причому вони повинні бути лінійно незалежними. Щоб рядки матриці рішень були лінійно незалежними необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював числу рядків, тобто 2. Тоді адав значення незалежних змінних з рядків цього визначника, можна знайти лінійно незалежні рішення. 6) Найпростіший визначник другого порядку не рівний нулю є , Звідки перше рішення: ; ; ; ; , Друге рішення: ; ; ; ; . відповідь: Загальне рішення системи: ; фундаментальна система рішень: . Введення в чисельні методи. Основні поняття Контрольна робота 1. Частина 2. | Формула трапецій Приклади розв'язання типових задач: матриці | Рішення систем лінійних рівнянь | Система лінійних рівнянь з двома невідомими | Система лінійних рівнянь з невідомими | правило Крамера | матричний метод | Метод Гаусса-Жордана | Довільна система лінійних рівнянь | Системи лінійних однорідних рівнянь | Приклади розв'язання типових задач: системи лінійних рівнянь | |