Головна

Приклад виконання контрольної роботи 1 (частина 2)

  1. F12.8 Приклади символів
  2. F13.8 Приклади символів
  3. I. Завдання для самостійної роботи
  4. I. Завдання для самостійної роботи
  5. I. Основні рекомендації і вимоги до виконання контрольної роботи
  6. I. Приблизний перелік питань рубіжного контролю.
  7. I. Цілі і завдання курсової роботи.

Завдання 1. Виконати дії з матрицями: .

Рішення. За правилом множення матриць:

. відповідь: .

Завдання 2. Обчислити визначник матриці: .

Рішення. Перетворимо визначник так, щоб в першому рядку всі елементи стали нульовими, за винятком елемента, розташованого в першому стовпці. Для цього помножимо всі елементи першого стовпчика на (-2) і складемо з відповідними елементами другого стовпця:

 {Тепер помножимо всі елементи першого стовпчика на (-3) і складемо з відповідними елементами третього стовпця}  {Розкладемо визначник за елементами першого рядка}  {Отриманий визначник 3-го порядку перетворимо так, щоб у другому рядку всі елементи стали нульовими, за винятком елемента в першому стовпці. Для цього помножимо всі елементи першого стовпчика на (-3) і складемо з відповідними елементами другого стовпця}  {Тепер помножимо всі елементи першого стовпчика на 2 і складемо з відповідними елементами третього стовпця}  {Розкладемо визначник за елементами другого рядка} .

відповідь: .

Завдання 3. Визначити, чи має матриця  зворотний, і, якщо має обчислити її: .

Рішення. Обчислимо визначник матриці. Перетворимо його так, щоб в третьому рядку всі елементи, крім, розташованого в першому стовпці, стали нульовими. Помножимо всі елементи першого стовпчика на (-5) і складемо з відповідними елементами другого стовпця:

 {Помножимо всі елементи першого стовпчика на (-3) і складемо з відповідними елементами третього стовпця}  {Розкладемо визначник за елементами третього рядка}  . Отже,  , Матриця - невироджена і у неї існує зворотна.

1. Транспоніруем вихідну матрицю: .

2. Для кожного елемента транспонованою матриці знайдемо алгебраїчне доповнення:

; ; ; ; ; ; ; ; .

3. Підставляємо в транспоновану матрицю замість елементів їх алгебраїчні доповнення та ділимо кожен елемент на визначник вихідної матриці, отримуємо матрицю, зворотну до вихідної:

.

4. Перевіряємо виконання умови: :

. відповідь: .

Завдання 4. Обчислити ранг матриці .

Рішення. Матриця має чотири стовпці і три рядки, тому  . Крім того, матриця містить стовпець з нульовими елементами, і все мінори 3-го порядку міститимуть цей нульовий стовпець, крім одного. Обчислимо його:  {Перетворимо так, щоб в третьому рядку всі елементи, крім знаходиться в другому стовпці, були нульовими. Помножимо елементи другого стовпчика на 2 і складемо з елементами першого стовпчика. Потім помножимо елементи другого стовпчика на (-3) і складемо з елементами третього стовпця. Розкладемо по елементах третього рядка} .

Все мінори 3-го порядку дорівнюють нулю, отже,  . Досить знайти хоча б один мінор 2-го порядку, відмінний від нуля, наприклад,  . Знайшли мінор 2-го порядку відмінний від нуля, так як всі мінори більш високого порядку дорівнюють нулю, то робимо висновок, що . відповідь: .

Завдання 5. Вирішити систему рівнянь методом Крамера:

Рішення. 1) Знайдемо визначник системи, складений з коефіцієнтів при невідомих:

.

2) Знайдемо визначники ,  для кожного  змінної системи заміною  -го стовпчика елементів на стовпець вільних членів системи:

;

;

;

.

Знаходимо рішення системи:

; ; ; .

3) Перевіряємо знайдене рішення:

відповідь: .

Завдання 6. Знайти загальне і одне з приватних рішень системи лінійних рівнянь: .

Рішення. 1) Запишемо розширену матрицю системи:

 . 2) Перетворимо матрицю до трикутного вигляду. Для зручності переставимо першу і третю рядки матриці. Потім перетворимо матрицю так, щоб в першому стовпці вийшли всі нулі, крім елемента :

3) Для зручності обчислень переставимо місцями другий і третій стовпці матриці. Запишемо вгорі стовпців назви змінних. Потім помножимо елементи другого рядка на 5 і складемо з відповідними елементами третього рядка: .

4) За базисний мінор візьмемо ненульовий визначник:  , До якого увійшли коефіцієнти при змінних: , ,  - Це залежні змінні, отже,  - Незалежна змінна.

5) Висловимо залежні змінні через незалежну :

 , звідки ;

 , звідки ;

 , звідки .

6) Знайдемо одне приватне рішення, наприклад, нехай  , тоді

; ; .

7) Перевіримо отримане рішення:

.

відповідь: Загальне рішення системи:

; ; .

Приватне рішення при : ; ; .

Завдання 7. Знайти спільне рішення і фундаментальну систему рішень:

.

Рішення: 1) Визначимо ранг матриці. Перетворення можна проводити тільки з рядками. Тому помножимо всі елементи першого рядка на (-3) і складемо з відповідними елементами другого рядка. Потім помножимо всі елементи першого рядка на (-1) і складемо з відповідними елементами третього рядка. Потім помножимо всі елементи першого рядка на (-2) і складемо з відповідними елементами четвертого рядка:

2) Друга і третя рядки пропорційні, тому одну з них можна викреслити, ранг матриці від цього не зміниться:

3) Для простоти обчислень переставимо другу і третю рядки місцями. Помножимо всі елементи другого рядка на  і складемо з відповідними елементами третього рядка:

4) За базисний мінор візьмемо ненульовий визначник даної матриці, наприклад:  . До нього увійшли коефіцієнти при змінних , и  - Це залежні змінні, отже, незалежними будуть и  . Висловимо залежні змінні через незалежні, тим самим знайдемо спільне рішення системи. Отримана після перетворень матриця відповідає системі:

 , Звідки спільне рішення:

5) Фундаментальна система рішень буде містити  рішень, тобто з 2 рішень, причому вони повинні бути лінійно незалежними. Щоб рядки матриці рішень були лінійно незалежними необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював числу рядків, тобто 2. Тоді адав значення незалежних змінних з рядків цього визначника, можна знайти лінійно незалежні рішення.

6) Найпростіший визначник другого порядку не рівний нулю є  , Звідки перше рішення: ; ; ; ;  , Друге рішення: ; ; ; ; .

відповідь: Загальне рішення системи:  ; фундаментальна система рішень: .

Введення в чисельні методи. Основні поняття

Контрольна робота 1. Частина 2. | Формула трапецій


Приклади розв'язання типових задач: матриці | Рішення систем лінійних рівнянь | Система лінійних рівнянь з двома невідомими | Система лінійних рівнянь з невідомими | правило Крамера | матричний метод | Метод Гаусса-Жордана | Довільна система лінійних рівнянь | Системи лінійних однорідних рівнянь | Приклади розв'язання типових задач: системи лінійних рівнянь |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати