Головна

Системи лінійних однорідних рівнянь

  1. C-білки системи комплементу
  2. I. Програмування лінійних алгоритмів.
  3. I. Пунктуація при однорідних членах речення
  4. II. Паризька мирна конференція 1919 р р Створення Версальської системи міжнародних відносин в Європі.
  5. III. Еволюція Британської системи маяків
  6. IV. Кодові системи.

Визначення 4.7. Система лінійних рівнянь виду:

,  (4.7)

називається однорідної системою лінійних рівнянь, де .

Однорідна система завжди має одне рішення  , Яке називається тривіальним.умовисуществованія нетривіальних рішень визначається наступними теоремами.

Теорема 4.2. Система однорідних лінійних рівнянь має нетривіальні рішення тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці менше числа невідомих.

Теорема 4.3. В разі  система (4.7) має нетривіальне рішення тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю.

Теорема 4.4. Будь-яка лінійна комбінація рішень системи (4.7) також є вирішенням цієї системи.

Визначення 4.8. Сукупність рішень системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною системою рішень, Якщо ця сукупність складається з лінійно незалежних рішень і будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих рішень.

Теорема 4.5. якщо ранг  матриці системи (4.7) менше числа невідомих  , То існує фундаментальна система рішень, що складається з  рішень.

Приклад 4.15.Знайти спільне рішення і одну з фундаментальних систем рішень для наступної системи однорідних рівнянь:

.

Рішення: 1) Знайдемо ранг матриці. Не забуваємо, що перетворення можна проводити тільки з рядками:  {Перетворимо матрицю: помножимо перший рядок на (-3) і складемо з другим рядком, потім помножимо перший рядок на (-4) і складемо з третім рядком, потім помножимо перший рядок на (-3) і складемо з четвертої рядком}

 {Друга і четверта, а також другий і четвертий рядки пропорційні. Отже, третю і четверту рядки можна видалити}  , звідки .

2) За базисний мінор візьмемо визначник  . Він має найвищий порядок і відмінний від нуля. У базисний мінор увійшли коефіцієнти при змінних и  , Вони складуть групу залежних змінних, отже, и  складуть групу вільних змінних.

3) Висловимо залежні змінні через вільні, таким чином, знайдемо спільне рішення системи: .

У другому рівнянні помножимо все коефіцієнти на (-1) і підставимо значення  з другого рівняння на початку, отримаємо вирази  . 4) Знайдемо фундаментальну систему рішень. Вона складається з  рішень, які повинні бути лінійно незалежними. Найпростіший спосіб скласти лінійно незалежні рядки в матриці рішення є наступним: вільним змінним надають значення з рядків визначника  -го порядку, відмінного від нуля. Потім підставляють ці значення у вираз загального рішення і визначають значення залежних змінних. Найпростішим визначником 2-го порядку, відмінним від нуля є  . Підставами перший набір значень вільних змінних в рішення:  , Потім другий:  . Звідки отримуємо фундаментальну систему рішень: . відповідь: спільне рішення системи:  ; фундаментальна система рішень: .

Довільна система лінійних рівнянь | Приклади розв'язання типових задач: системи лінійних рівнянь


матриці | Основні операції над матрицями | Ранг матриці | Приклади розв'язання типових задач: матриці | Рішення систем лінійних рівнянь | Система лінійних рівнянь з двома невідомими | Система лінійних рівнянь з невідомими | правило Крамера | матричний метод | Метод Гаусса-Жордана |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати