Головна |
Системи лінійних однорідних рівняньВизначення 4.7. Система лінійних рівнянь виду:
називається однорідної системою лінійних рівнянь, де . Однорідна система завжди має одне рішення , Яке називається тривіальним.умовисуществованія нетривіальних рішень визначається наступними теоремами. Теорема 4.2. Система однорідних лінійних рівнянь має нетривіальні рішення тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці менше числа невідомих. Теорема 4.3. В разі система (4.7) має нетривіальне рішення тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю. Теорема 4.4. Будь-яка лінійна комбінація рішень системи (4.7) також є вирішенням цієї системи. Визначення 4.8. Сукупність рішень системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною системою рішень, Якщо ця сукупність складається з лінійно незалежних рішень і будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих рішень. Теорема 4.5. якщо ранг матриці системи (4.7) менше числа невідомих , То існує фундаментальна система рішень, що складається з рішень. Приклад 4.15.Знайти спільне рішення і одну з фундаментальних систем рішень для наступної системи однорідних рівнянь: . Рішення: 1) Знайдемо ранг матриці. Не забуваємо, що перетворення можна проводити тільки з рядками: {Перетворимо матрицю: помножимо перший рядок на (-3) і складемо з другим рядком, потім помножимо перший рядок на (-4) і складемо з третім рядком, потім помножимо перший рядок на (-3) і складемо з четвертої рядком} {Друга і четверта, а також другий і четвертий рядки пропорційні. Отже, третю і четверту рядки можна видалити} , звідки . 2) За базисний мінор візьмемо визначник . Він має найвищий порядок і відмінний від нуля. У базисний мінор увійшли коефіцієнти при змінних и , Вони складуть групу залежних змінних, отже, и складуть групу вільних змінних. 3) Висловимо залежні змінні через вільні, таким чином, знайдемо спільне рішення системи: . У другому рівнянні помножимо все коефіцієнти на (-1) і підставимо значення з другого рівняння на початку, отримаємо вирази . 4) Знайдемо фундаментальну систему рішень. Вона складається з рішень, які повинні бути лінійно незалежними. Найпростіший спосіб скласти лінійно незалежні рядки в матриці рішення є наступним: вільним змінним надають значення з рядків визначника -го порядку, відмінного від нуля. Потім підставляють ці значення у вираз загального рішення і визначають значення залежних змінних. Найпростішим визначником 2-го порядку, відмінним від нуля є . Підставами перший набір значень вільних змінних в рішення: , Потім другий: . Звідки отримуємо фундаментальну систему рішень: . відповідь: спільне рішення системи: ; фундаментальна система рішень: . Довільна система лінійних рівнянь | Приклади розв'язання типових задач: системи лінійних рівнянь матриці | Основні операції над матрицями | Ранг матриці | Приклади розв'язання типових задач: матриці | Рішення систем лінійних рівнянь | Система лінійних рівнянь з двома невідомими | Система лінійних рівнянь з невідомими | правило Крамера | матричний метод | Метод Гаусса-Жордана | |