Головна |
Лекція 1Випадкові величини. Класифікація помилок вимірювань. Абсолютна і відносна похибка. Прямі та непрямі вимірювання. Оцінка похибок функцій наближених аргументів. Розподіл випадкових величин. Функція розподілу та щільність розподілу. 1.1. Випадкові величини. Класифікація помилок вимірювань. Абсолютна і відносна похибка. під випадковою величиною розуміють величину, що приймає в результаті випробування значення, яке принципово не можна передбачити, виходячи з умов досвіду. Випадкова величина має цілий набір допустимих значень, але в результаті кожного окремого досвіду приймає лише якесь одне з них. На відміну від невипадкових величин, що змінюють своє значення тільки при зміні умов досвіду, випадкова величина може набувати різних значень навіть при незмінному комплексі основних факторів. розрізняють дискретні и безперервні випадкові величини. Можливі значення дискретних величин можна заздалегідь перерахувати. Значення неперервної випадкової величини не можуть бути заздалегідь перераховані, вони заповнюють собою деякий інтервал. Набір допустимих значень сам по собі слабо характеризує випадкову величину. Щоб її повністю охарактеризувати, необхідно не тільки вказати, які значення вона може приймати, але і як часто. Кожен результат вимірювання - випадкова величина. Відхилення результату реального вимірювання від істинного значення величини називається помилкою вимірювання. («Помилка» в науковому сенсі означає неминучу похибку, яка супроводжує всіх вимірах). Жодну фізичну величину (довжину, час, температуру і т.д.) неможливо виміряти з повною визначеністю. Найкраще, на що можна розраховувати, - це звести помилки до можливого мінімуму і надійно розрахувати їх величини. Розрізняють помилки вимірювань трьох видів: 1. Грубі помилки виникають внаслідок порушення основних умов вимірювання. Результат, який містить грубу помилку, різко відрізняється за величиною від інших вимірів, на чому грунтуються деякі критерії виключення грубих помилок. 2. систематичні помилки постійні у всій серії вимірювань або змінюються за певним законом. Виявлення їх вимагає спеціальних досліджень, їх завжди прагнуть звести до мінімуму, а при необхідності вони зазвичай враховуються введенням відповідних поправок в результати вимірювання. 3. випадкові помилки - Помилки вимірювання, що залишаються після усунення всіх виявлених грубих і систематичних помилок. Вони викликаються великою кількістю таких факторів, ефекти дії яких настільки незначні, що їх не можна виділити окремо (при даному рівні техніки вимірювання). При цьому розподіл випадкових помилок зазвичай симетрично відносно нуля: помилки, протилежні за знаком, але рівні за абсолютною величиною, зустрічаються досить часто. Коректний спосіб представлення результатів будь-якого вимірювання полягає в тому, що експериментатор вказує свою найкращу оцінку вимірюваної величини і інтервал, в якому, як він упевнений, вона лежить. Щоб охарактеризувати відхилення наближеного значення деякої величини від її справжнього значення, вводять поняття абсолютної і відносної похибок, відволікаючись від конкретного джерела похибок. нехай А - Точне значення досліджуваної величини, а - Її найкраща експериментальна оцінка (зазвичай середнє арифметичне серії вимірювань). під абсолютною помилкою (або похибкою) величини а розуміють абсолютне значення різниці між цими значеннями: e = ?А - а? = ?Dа?, (1.1) або А = а ± e. (1.2) Гранична абсолютна похибка визначається як eпр. ? ?А - а?, (1.3) або eпр. ? e, (1.4) при цьому (а + eпр.) ? А и А ? (а - eпр.), (1.5) т. е. справжнє значення шуканої величини свідомо лежить в межах а - eпр. ? А ? а + eпр.. (1.6) Для характеристики відносної точності вимірювань, що залежить від значення вимірюваної величини, вводиться відносна погрішність: , (1.7) . (1.8) За аналогією з абсолютною похибкою вводиться також поняття граничної відносної похибки: , (1.9) або . (1.10) тоді , (1.11) або . (1.12) У вищенаведені формули входить невідома величина А, Що унеможливлює чисельне визначення похибки. Практично надходять у такий спосіб: так як в більшості випадків абсолютна похибка багато менше самої вимірюваної величини, т. Е. E « , E « або А » а, То для таких досить точних вимірювань можна записати: и . Тоді з урахуванням визначень абсолютної і відносної похибок отримуємо або . (1.13) Відносна похибка на відміну від абсолютної є величиною безрозмірною і для більшості вимірювань являє собою мале число, тому її часто множать на 100 і призводять у відсотках. 1.2. Оцінка похибок функцій наближених аргументів. Вимірювання ділять на прямі и непрямі. У першому випадку безпосередньо вимірюється визначається величина, при непрямих вимірах вона задається деякою функцією від безпосередньо вимірюваних величин. Переважна більшість фізико-хімічних властивостей речовин і параметрів процесів визначаються в результаті непрямих вимірювань, похибка яких залежить від похибок безпосередньо вимірюваних величин, використаних в розрахунках. Припустимо, що деякі величини X1, X2, ..., Хn виміряні за абсолютними похибками Dх1, Dх2, ..., Dхn і що виміряні значення використовуються для обчислення функції Z = f (X1, X2, ..., Хn). (1.14) Очевидно, що похибки наближених аргументів повинні привести до похибки в значенні шуканої функції, що можна записати в наступному вигляді: , (1.15) де Dz - Абсолютна похибка функції Z. Розкладемо праву частину рівності (1.15) в ряд Тейлора: . (1.16) Якщо припустити, що вимірювання досить точні, так що величини Dхi малі в порівнянні зі значеннями аргументів Xi, То у виразі (1.16) можна відкинути всі члени, що містять абсолютні похибки аргументів у другій і вищої ступенях. тоді , (1.17) звідки з урахуванням (1.14) отримуємо . (1.18) Вираз для граничної абсолютної похибки функції n змінних запишеться в наступному вигляді: , (1.19) тобто гранична абсолютна похибка функції незалежних змінних дорівнює сумі приватних похідних цієї функції, помножених на відповідні абсолютні похибки аргументів. У практичних розрахунках значення приватних похідних беруться в точках, відповідних виміряним значенням хi або середнім арифметичним , Якщо проводилися серії вимірювань. У математичній статистиці також доводиться, що якщо абсолютні похибки аргументів незалежні і випадкові, то найкращою оцінкою похибки функції (1.14) буде квадратична сума її приватних похідних, помножених на відповідні похибки аргументів: . (1.20) Формули (1.19) і (1.20) є основними при практичних розрахунках. З них можна вивести формули для розрахунків похибок непрямих вимірювань для деяких окремих випадків, використання яких на практиці буває зручнішим: 1. Виміряна величина множиться на точне число. якщо величина X виміряна з похибкою Dх і використовується для обчислення Z = BX, в котрому В - Точне число, то абсолютна похибка в Z дорівнює . (1.21) 2. Похибка в сумах і різницях. якщо величини X1, X2, ..., Хn виміряні з малими похибками Dх1, Dх2, ..., Dхn і виміряні значення використовуються для обчислення функції Z = (X1 + ... + Хm) - (Хk + ... + Хn), а похибки аргументів незалежні і випадкові, то похибка в Z дорівнює квадратичної сумі вихідних похибок: ; (1.22) в будь-якому випадку вона ніколи не більше, ніж їх звичайна сума . (1.23) 3. Похибки в творах і приватних. якщо величини X1, X2, ..., Хn виміряні з малими похибками Dх1, Dх2, ..., Dхn і виміряні значення використовуються для обчислення функції , а похибки аргументів незалежні і випадкові, то відносна похибка в Z дорівнює квадратичної сумі вихідних відносних похибок: ; (1.24) в будь-якому випадку вона ніколи не більше, ніж їх звичайна сума . (1.25) 4. Похибка в довільній функції однієї змінної. якщо величина X виміряна з похибкою Dх і використовується для обчислення функції Z = f (X), То абсолютна похибка в Z дорівнює . (1.26) 5. Похибка в статечної функції. якщо величина X виміряна з похибкою Dх і використовується для обчислення статечної функції (де m - Фіксований відоме число), відносна похибка в Z в раз більше, ніж в Х: . (1.27) Користуючись формулами (1.21) - (1.27), можна впоратися практично з будь-яким завданням обчислення помилок в разі непрямих вимірювань. Будь-розрахунок може бути представлений як послідовність певних кроків, кожен з яких включає один з наступних видів операцій: 1) знаходження сум і різниць, 2) розрахунок творів і приватних, 3) обчислення функції одного змінного (даний метод називають «крок за кроком») . Однак в разі коли вираз для обчислення функції Z включає одну і ту ж величину більш ніж один раз (наприклад, двічі Х1), То деякі з помилок можуть взаємно компенсуватися і в результаті розрахунок помилки методом «крок за кроком» може призвести до переоцінки кінцевої похибки. Тому в подібних випадках рекомендується користуватися загальними формулами (1.19) і (1.20). 1.3. Розподіл випадкових величин. функція розподілу і щільність розподілу випадкової величини. Нехай дискретна фізична величина Х може приймати в результаті досвіду значення х1, х2, ..., хn. Ставлення числа дослідів mi, В результаті яких величина Х приймає значення хi, До загальної кількості проведених дослідів n називається частотою появи події Х = хi. частота (mi / n) Є випадковою величиною і змінюється в залежності від кількості проведених дослідів. Однак при великій кількості дослідів (в межі n ® ?) вона стабілізується близько деякого значення рi, званого ймовірністю події Х = хi (Статистичне визначення): рi = Р (Х = хi) »(mi / n). (1.28) Очевидно, що сума ймовірностей реалізації всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці: . (1.29) Дискретну випадкову величину можна повністю поставити імовірнісним поруч, Вказавши ймовірність рi для кожного значення хi:
законом розподілу випадкової величини називають будь-яке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями. Імовірнісний ряд є одним з видів законів розподілу випадкової величини. Розподіл неперервної випадкової величини можна задати імовірнісним поруч, оскільки число значень, яке вона може приймати, так велико, що для більшості з них ймовірність прийняти ці значення дорівнює нулю. Тому для безперервних фізичних величин вивчається ймовірність того, що в результаті досвіду значення випадкової величини потрапить в певний інтервал. Зручно користуватися ймовірністю події Х ? х, де х - Довільне дійсне число. ця ймовірність Р (Х ? х) = F(x) (1.30) є функцією від х і називається функцією розподілу (граничної функцією розподілу, функцією розподілу генеральної сукупності) Випадкової величини. У вигляді функції розподілу можна задати розподіл як безперервної, так і дискретної злучення величини (рис. 2 і 3). F(x) Є неубивающей функцією, тобто якщо х1 ? х2, то F(х1) ? F(х2) (Рис. 3). дискретної випадкової величини. неперервної випадкової величини. ордината кривої F(x), Відповідна точці хi, Являє собою ймовірність того, що випадкова величина Х при випробуванні виявиться ? хi. Тоді ймовірність того, що значення випадкової величини будуть лежати в інтервалі від х1 до х2, дорівнює Р(х1 ? Х ? х2) = F(х2) - F(х1). (1.31) значення F(х) При граничних значеннях аргументу рівні: F(- ?) = 0, F(+ ?) = 1. Слід зазначити, що функція розподілу дискретної випадкової величини завжди є розривна функція. Скачки відбуваються в точках, що відповідають можливим значенням цієї величини, та є рівними можливостям цих значень (рис. 2). Для неперервної випадкової величини найбільш часто використовується похідна функції розподілу - щільність розподілу випадкової величини Х. якщо F(х) Неперервна і диференційовна, то . (1.32) завдання f (x) Також повністю визначає випадкову величину. Щільність распреределенія є неотрицательной функцією (рис. 4). Мал. 4. щільність розподілу неперервної випадкової величини. Площа, обмежена віссю х, прямими х = х1 и х = х2 і кривої щільності розподілу, дорівнює ймовірності того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу х1 ? х2: Р (х1 ? Х ? х2) = = F(х2) - F(х1). (1.33) тоді F(х) = Р(- ? ? Х ? х) = . (1.34) Оскільки потрапляння випадкової величини в інтервал - ? < Х <+ ? є достовірна подія, то = 1. (1.35) Поняття про оцінки параметрів генерального розподілу. | Метод максимальної правдоподібності. | Дисперсія середнього серії вимірювань. | Рівень значущості. | Розподіл Ст'юдента. | Непрямих вимірювань. | Порівняння двох дисперсій. Розподіл Фішера. | Порівняння декількох дисперсій. | Додаток 1 | додаток 4 | |