Головна |
Рішення.
Перетворимо вираз: при .
значить,
Побудуємо гілка гіперболи при і видалимо точку . Потім побудуємо другу частину графіка симетрично першій щодо осі ординат.
На малюнку видно, що пряма не має з побудованим графіком спільних точок, якщо вона горизонтальна, або проходить через одну з віддалених точок або . Цим випадкам відповідають значення и .
відповідь: .
24. Периметр прямокутника дорівнює 30, а діагональ дорівнює 14. Знайдіть площу цього прямокутника.
Рішення.
Нехай одна зі сторін прямокутника дорівнює . Тоді інша сторона дорівнює , А площа . За теоремою Піфагора:
Значить, шукана площа дорівнює 14,5.
Відповідь: 14,5.
25. Доведіть, що у рівних трикутників и бісектриси, проведені з вершини и , Рівні.
Рішення.
нехай и - Бісектриси трикутників и . У трикутниках и відповідно рівні сторони и , А також кути и , и . Отже, трикутники рівні за другою ознакою рівності трикутників. значить, , що й потрібно було довести.
26.У окружності з центром в точці проведено дві хорди и . прямі и перпендикулярні і перетинаються в точці , Що лежить поза колом. При цьому . Знайдіть .
Рішення.
позначимо радіус кола, точкою середину відрізка , А точкою середину відрізка . оскільки трикутники и рівнобедрені, и перпендикулярні и відповідно. відрізок дорівнює . чотирикутник є прямокутником, тому .
З прямокутного трикутника знаходимо .
З прямокутного трикутника знаходимо .
З прямокутного трикутника знаходимо .
Відповідь: 29.
Варіант 13.
21. Вирішіть систему рівнянь:
Рішення.
Складемо два рівняння системи:
звідки отримуємо або
Віднімемо від першого рівняння системи друге:
Таким чином, рішення систему
відповідь:
22. Дві труби наповнюють басейн за 8 годин 45 хвилин, а одна перша труба наповнює басейн за 21 годин. За скільки годин наповнює басейн одна друга труба?
Рішення.
За умовою перша труба за одну хвилину наповнює частина басейну, а дві труби разом за одну хвилину наповнюють частина басейну. Таким чином, одна друга труба за хвилину наповнює частина басейну, тобто вона наповнить весь басейн за 15 годин.
Відповідь: 15.
23. При якому значенні пряма має з параболою рівно одну спільну точку? Знайдіть координати цієї точки. Побудуйте в одній системі координат дану параболу і пряму при знайденому значенні .
Рішення.
Графік функції зображений на малюнку.
Запишемо умову загальної точки:
пряма матиме з параболою єдину спільну точку за умови, що дискримінант отриманого квадратного рівняння дорівнює нулю: звідки Підставивши значення параметра в рівняння, знаходимо
Відповідь: (-2; 0).
24. Знайдіть кут АСО, Якщо його сторона СА стосується окружності, О - Центр окружності, а дуга AD окружності, укладена всередині цього кута, дорівнює 140 °.
Рішення.
проведемо радіус OA. трикутник AOC - Прямокутний, ?A = 90 °. ?COA = 180 ° - ?AOD = 180 ° - 140 ° = 40 °; ?ACO = 90 ° - 40 ° = 50 °.
Відповідь: 50.
25. Дана рівнобедрена трапеція . Крапка лежить на підставі і рівновіддалена від кінців іншої основи. Доведіть, що - Середина підстави .
Рішення.
трикутник рівнобедрений. Тому .
У рівнобедреної трапеції .
Звідси слідує що . Значить, трикутники и рівні за двома сторонами і кутом між ними. отже, .
26. діагоналі чотирикутника , Вершини якого розташовані на окружності, перетинаються в точці . Відомо що = 74 °, = 102 °, = 112 °. Знайдіть .
Рішення.
нехай .
= 180 ° - 112 ° = 68 °;
;
= 102 ° - x;
+ 102 ° - x = 68 °; x = + 34 °.
= 74 °; = X; = 74 ° - x; 2x = 108 °, x = 54 °.
Відповідь: 54 °.
Варіант 14.
21.скоротіть дріб .
Рішення.
Використовуємо властивості ступенів:
Відповідь: 96.
22.На виготовлення 231 деталі учень витрачає на 11 годин більше, ніж майстер на виготовлення 462 таких же деталей. Відомо, що учень за годину робить на 4 деталі менше, ніж майстер. Скільки деталей у годину робить учень?
Рішення.
Припустимо, що учень робить деталей в годину. Тоді майстер робить деталі на годину.
На виготовлення 231 деталі учень витратить ч, а майстер витрачає ч на виготовлення 462 деталей.
Складемо рівняння за умовою задачі:
.
Вирішимо рівняння:
.
Коріння отриманого квадратного рівняння: -28 і 3. Відкидаючи негативний корінь, знаходимо, що учень робить в годину 3 деталі.
Відповідь: 3.
23. Побудуйте графік функції . Знайдіть значення , При яких пряма не має з графіком даної функції спільних точок.
Рішення.
Знайдемо область визначення функції:
1)
2) отже, функція визначена при .
далі,
.
Графік зображений на малюнку.
пряма не має з графіком даної функції спільних точок при .
відповідь: .
24. На сторонах кута , Рівного 20 °, і на його бісектрисі відкладено рівні відрізки и . Визначте величину кута .
Рішення.
маємо = 20 °: 2 = 10 °; рівнобедрений, = (180 ° - 10 °): 2 = 85 °; по двох сторонах і куту між ними, тому ; = 2 · 85 ° = 170 °.
Відповідь: 170 °.
25. На стороні АС трикутника АВС обрані точки D и E так, що відрізки AD и CE рівні (див. малюнок). Виявилося, що відрізки BD и BE теж рівні. Доведіть, що трикутник АВС - Рівнобедрений.
Рішення.
Так як за умовою BD = BE, то трикутник BDE є рівнобедреним. Нехай кут при підставі цього трикутника дорівнює x, тоді Трикутники BEC і BDA рівні за двома сторонами і кутом між ними, тому AB = BC і трикутник ABC - рівнобедрений.
26. довжина катета прямокутного трикутника дорівнює 8 см. Окружність з діаметром перетинає гіпотенузу в точці . Знайдіть площу трикутника , Якщо відомо, що .
Рішення.
нехай см, см і см. Тому гіпотенуза см. За теоремою Піфагора:
.
По теоремі про січною і дотичній
.
отже, , звідки .
тоді .
Отже, площа трикутника дорівнює
.
відповідь: .
Варіант 15.
21.скоротіть дріб , якщо .
Рішення.
маємо:
Відповідь: 1.
22. пристані и розташовані на річці, швидкість течії якої на цій ділянці дорівнює 3 км / год. Човен проходить туди і назад без зупинок з середньою швидкістю 8 км / год. Знайдіть власну швидкість човна.
Рішення.
нехай км / год - власна швидкість човна. Тоді швидкість руху за течією дорівнює км / год, а швидкість руху проти течії дорівнює км / год. позначимо відстань між пристанями. Час, витрачений на весь шлях, так само
.
За умовою середня швидкість дорівнює 8 км / год, а весь шлях дорівнює . отже,
.
Вирішимо це рівняння:
отримуємо: або . Корінь -1 не є вирішенням завдання. Значить, швидкість човна дорівнює 9 км / год.
Відповідь: 9 км / год.
23. Побудуйте графік функції
і визначте, за яких значеннях пряма матиме з графіком єдину спільну точку.
Рішення.
Побудуємо графік функції (див. Малюнок).
З графіка видно, що пряма матиме з графіком функції єдину точку перетину при що належить множин [0; 1).
Відповідь: [0; 1).
24. медіана трикутника перетинаються в точці . Знайдіть довжину медіани, проведеної до сторони , Якщо кут дорівнює 47 °, кут дорівнює 133 °, .
Рішення.
Позначимо середину боку за . продовжимо на свою довжину за точку до точки . чотирикутник - Паралелограм, тому що и . значить, = 133 °, тому чотирикутник - Вписаний. тоді .
Відповідь: 6.
25. У параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежать на його сторонах, як показано на малюнку, причому СF = АM, BE = DK. Доведіть, що EFKM - Паралелограм.
Рішення.
Протилежні сторони паралелограма рівні і за умовою отже:
У параллелограмме протилежні кути рівні: , Розглянь трикутники и , В цих трикутниках , , отже ці трикутники рівні, а значить, . Аналогічно рівні трикутники и а отже рівні відрізки и Протилежні сторони чотирикутника рівні, отже, за ознакою паралелограма, цей чотирикутник - паралелограм.