Головна

 4 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

Рішення.

Перетворимо вираз:  при .

значить,

Побудуємо гілка гіперболи  при  і видалимо точку  . Потім побудуємо другу частину графіка симетрично першій щодо осі ординат.

На малюнку видно, що пряма  не має з побудованим графіком спільних точок, якщо вона горизонтальна, або проходить через одну з віддалених точок  або  . Цим випадкам відповідають значення и .


 відповідь: .

24. Периметр прямокутника дорівнює 30, а діагональ дорівнює 14. Знайдіть площу цього прямокутника.

Рішення.

Нехай одна зі сторін прямокутника дорівнює  . Тоді інша сторона дорівнює  , А площа  . За теоремою Піфагора:


 Значить, шукана площа дорівнює 14,5.


 Відповідь: 14,5.

25. Доведіть, що у рівних трикутників и  бісектриси, проведені з вершини и  , Рівні.

Рішення.

нехай и  - Бісектриси трикутників и  . У трикутниках и  відповідно рівні сторони и  , А також кути и , и  . Отже, трикутники рівні за другою ознакою рівності трикутників. значить,  , що й потрібно було довести.

26.У окружності з центром в точці  проведено дві хорди и  . прямі и  перпендикулярні і перетинаються в точці  , Що лежить поза колом. При цьому  . Знайдіть .

Рішення.

 позначимо  радіус кола, точкою  середину відрізка  , А точкою  середину відрізка  . оскільки трикутники и  рівнобедрені, и  перпендикулярні и  відповідно. відрізок  дорівнює  . чотирикутник  є прямокутником, тому .

З прямокутного трикутника  знаходимо .

З прямокутного трикутника  знаходимо .

З прямокутного трикутника  знаходимо .


 Відповідь: 29.

Варіант 13.

21. Вирішіть систему рівнянь:

Рішення.

Складемо два рівняння системи:

звідки отримуємо  або
 Віднімемо від першого рівняння системи друге:
 Таким чином, рішення систему


 відповідь:

22. Дві труби наповнюють басейн за 8 годин 45 хвилин, а одна перша труба наповнює басейн за 21 годин. За скільки годин наповнює басейн одна друга труба?

Рішення.

За умовою перша труба за одну хвилину наповнює  частина басейну, а дві труби разом за одну хвилину наповнюють  частина басейну. Таким чином, одна друга труба за хвилину наповнює  частина басейну, тобто вона наповнить весь басейн за 15 годин.

Відповідь: 15.

23. При якому значенні  пряма  має з параболою  рівно одну спільну точку? Знайдіть координати цієї точки. Побудуйте в одній системі координат дану параболу і пряму при знайденому значенні .

Рішення.

Графік функції зображений на малюнку.

Запишемо умову загальної точки:

пряма  матиме з параболою єдину спільну точку за умови, що дискримінант отриманого квадратного рівняння дорівнює нулю:  звідки  Підставивши значення параметра в рівняння, знаходимо

Відповідь: (-2; 0).

24.  Знайдіть кут АСО, Якщо його сторона СА стосується окружності, О - Центр окружності, а дуга AD окружності, укладена всередині цього кута, дорівнює 140 °.

Рішення.

 проведемо радіус OA. трикутник AOC - Прямокутний, ?A = 90 °. ?COA = 180 ° - ?AOD = 180 ° - 140 ° = 40 °; ?ACO = 90 ° - 40 ° = 50 °.

Відповідь: 50.

25. Дана рівнобедрена трапеція  . Крапка  лежить на підставі  і рівновіддалена від кінців іншої основи. Доведіть, що  - Середина підстави .

Рішення.

трикутник  рівнобедрений. Тому .
 У рівнобедреної трапеції .
 Звідси слідує що  . Значить, трикутники и  рівні за двома сторонами і кутом між ними. отже, .

26. діагоналі чотирикутника  , Вершини якого розташовані на окружності, перетинаються в точці  . Відомо що  = 74 °,  = 102 °,  = 112 °. Знайдіть .

Рішення.

нехай .

 = 180 ° - 112 ° = 68 °;

;

 = 102 ° - x;

 + 102 ° - x = 68 °; x =  + 34 °.

 = 74 °;  = X;  = 74 ° - x; 2x = 108 °, x = 54 °.


 Відповідь: 54 °.

Варіант 14.

21.скоротіть дріб .

Рішення.

Використовуємо властивості ступенів:

Відповідь: 96.

22.На виготовлення 231 деталі учень витрачає на 11 годин більше, ніж майстер на виготовлення 462 таких же деталей. Відомо, що учень за годину робить на 4 деталі менше, ніж майстер. Скільки деталей у годину робить учень?

Рішення.

Припустимо, що учень робить  деталей в годину. Тоді майстер робить  деталі на годину.
 На виготовлення 231 деталі учень витратить  ч, а майстер витрачає  ч на виготовлення 462 деталей.
 Складемо рівняння за умовою задачі:

.

Вирішимо рівняння:

.

Коріння отриманого квадратного рівняння: -28 і 3. Відкидаючи негативний корінь, знаходимо, що учень робить в годину 3 деталі.


 Відповідь: 3.

23. Побудуйте графік функції  . Знайдіть значення  , При яких пряма  не має з графіком даної функції спільних точок.

Рішення.

Знайдемо область визначення функції:
 1)
 2)  отже, функція визначена при .
 далі,

.


 Графік зображений на малюнку.
 пряма  не має з графіком даної функції спільних точок при .


 відповідь: .

24. На сторонах кута  , Рівного 20 °, і на його бісектрисі відкладено рівні відрізки и  . Визначте величину кута .

Рішення.

 маємо  = 20 °: 2 = 10 °;  рівнобедрений,  = (180 ° - 10 °): 2 = 85 °;  по двох сторонах і куту між ними, тому ;  = 2 · 85 ° = 170 °.


 Відповідь: 170 °.

25.  На стороні АС трикутника АВС обрані точки D и E так, що відрізки AD и CE рівні (див. малюнок). Виявилося, що відрізки BD и BE теж рівні. Доведіть, що трикутник АВС - Рівнобедрений.

Рішення.

Так як за умовою BD = BE, то трикутник BDE є рівнобедреним. Нехай кут при підставі цього трикутника дорівнює x, тоді  Трикутники BEC і BDA рівні за двома сторонами і кутом між ними, тому AB = BC і трикутник ABC - рівнобедрений.

26. довжина катета  прямокутного трикутника  дорівнює 8 см. Окружність з діаметром  перетинає гіпотенузу  в точці  . Знайдіть площу трикутника  , Якщо відомо, що .

Рішення.

 нехай  см,  см і  см. Тому гіпотенуза  см. За теоремою Піфагора:

.

По теоремі про січною і дотичній

.

отже,  , звідки .
 тоді .
 Отже, площа трикутника дорівнює

.


 відповідь: .

Варіант 15.

21.скоротіть дріб  , якщо .

Рішення.

маємо:


 Відповідь: 1.

22. пристані и  розташовані на річці, швидкість течії якої на цій ділянці дорівнює 3 км / год. Човен проходить туди і назад без зупинок з середньою швидкістю 8 км / год. Знайдіть власну швидкість човна.

Рішення.

нехай  км / год - власна швидкість човна. Тоді швидкість руху за течією дорівнює  км / год, а швидкість руху проти течії дорівнює  км / год. позначимо  відстань між пристанями. Час, витрачений на весь шлях, так само

.

За умовою середня швидкість дорівнює 8 км / год, а весь шлях дорівнює  . отже,

.

Вирішимо це рівняння:

отримуємо:  або  . Корінь -1 не є вирішенням завдання. Значить, швидкість човна дорівнює 9 км / год.


 Відповідь: 9 км / год.

23. Побудуйте графік функції

і визначте, за яких значеннях  пряма  матиме з графіком єдину спільну точку.

Рішення.

Побудуємо графік функції (див. Малюнок).

З графіка видно, що пряма  матиме з графіком функції єдину точку перетину при  що належить множин [0; 1).

Відповідь: [0; 1).

24. медіана трикутника  перетинаються в точці  . Знайдіть довжину медіани, проведеної до сторони  , Якщо кут  дорівнює 47 °, кут  дорівнює 133 °, .

Рішення.

Позначимо середину боку  за  . продовжимо  на свою довжину за точку  до точки  . чотирикутник  - Паралелограм, тому що и  . значить,  = 133 °, тому чотирикутник  - Вписаний. тоді .


 Відповідь: 6.

25. У параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежать на його сторонах, як показано на малюнку, причому СF = АM, BE = DK. Доведіть, що EFKM - Паралелограм.

Рішення.

 Протилежні сторони паралелограма рівні і за умовою  отже:

У параллелограмме протилежні кути рівні: ,  Розглянь трикутники и  , В цих трикутниках , ,  отже ці трикутники рівні, а значить,  . Аналогічно рівні трикутники и  а отже рівні відрізки и  Протилежні сторони чотирикутника  рівні, отже, за ознакою паралелограма, цей чотирикутник - паралелограм.

3 сторінка | 5 сторінка

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати