На головну

 1 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка

25.

 У окружності з центром  проведені дві рівні хорди и  . На ці хорди перпендикуляри и  . Доведіть, що и  рівні.

Рішення.

Проведемо ОK, ON, ON, OM - радіуси. Трикутники KOL і MON рівні за трьома сторонами, тоді висоти OH і OS є рівними як елементи рівних трикутників. Що й потрібно було довести.

26.через середину K медіани BM трикутника ABC і вершину A проведена пряма, яка перетинає сторону BC в точці P. Знайдіть відношення площі чотирикутника KPCM до площі трикутника AMK.

Рішення.

 проведемо відрізок MT, паралельний AP. тоді MT - Середня лінія трикутника APC и CT = TP, а KP - Середня лінія трикутника BMT и TP = BP. Позначимо площу трикутника BKP через  . Тоді площа трикутника KPС, Що має ту ж висоту і вдвічі більше підставу, дорівнює  . Значить площа трикутника CKB дорівнює  і дорівнює площі трикутника СMK, Яка в свою чергу дорівнює площі трикутника AMK. Площа трикутника АВК дорівнює площі трикутника АМК. Отже,  значить,

Відповідь: 5: 3.


Варіант 2

21.Знайдіть значення виразу:  при

Рішення.

маємо:


 при  отримуємо:


 відповідь:

22. Дві труби наповнюють басейн за 8 годин 45 хвилин, а одна перша труба наповнює басейн за 21 год. За скільки годин наповнює басейн одна друга труба?

Рішення.

За умовою перша труба за одну хвилину наповнює  частина басейну, а дві труби разом за одну хвилину наповнюють  частина басейну. Таким чином, одна друга труба за хвилину наповнює  частина басейну, тобто вона наповнює весь басейн за 15 годин.

Відповідь: 15.

23.Побудуйте графік функції  і визначте, за яких значеннях  пряма  має з графіком рівно три спільні точки.

Рішення.

Розкриваючи модуль, отримаємо, що графік функції можна представити в такий спосіб:

Цей графік зображений на малюнку:

З графіка видно, що пряма  має з графіком функції рівно три спільні точки при и

Відповідь: 0; 4.

24.  з точки А проведено дві дотичні до кола з центром в точці О. Знайдіть радіус кола, якщо кут між дотичними дорівнює 60 °, а відстань від точки А до точки О дорівнює 8.

Рішення.

Опустимо радіуси на кожну дотичну. З'єднаємо точки A і O. Утворені трикутники - прямокутні, так як радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний дотичній. За гіпотенузі і катету ці трикутники рівні, таким чином, ми отримали, що кут, що лежить навпроти катета дорівнює  Катет, що лежить навпроти кута в  дорівнює половині гіпотенузи, тоді радіус дорівнює 4.

Відповідь: 4.

25.У параллелограмме АВСD проведені перпендикуляри ВЕ и DF до діагоналі АС (Див. Рисунок). Доведіть, що ВFDЕ - Паралелограм.

Рішення.

 - Паралелограм, тому сторони и  рівні. кути и  рівні, як навхрест лежачі при паралельних прямих и  і січною  Розглянемо трикутники и  вони прямокутні, їх гіпотенузи рівні і кут  дорівнює куту  отже ці трикутники рівні по гіпотенузі і розі, значить, рівні відрізки и и  отже  . Протилежні сторони чотирикутника  рівні і паралельні, отже цей чотирикутник - паралелограм.

26.  На малюнку зображений колодязь з «журавлем». Коротке плече має довжину 2 м, а довге плече - 3 м. На скільки метрів опуститься кінець довгого плеча, коли кінець короткого підніметься на 1 м?

Рішення.

Введемо позначення, наведені на малюнку. тут  - Плечі "журавля" до опускання,  - Після,  - Висота, на яку піднявся кінець короткого плеча,  - Висота, на яку опустився кінець довгого. Розглянемо трикутники и  кути и  рівні, як вертикальні, отже рівні і кути при підставах:

Отже, трикутники и  подібні за двома кутами, тобто

Розглянь прямі и  їх перетинає січна  кути, позначені на малюнку 1 і 2 навхрест лежачі і рівні один одному, отже прямі и  паралельні. Сторони кутів 3 і 4 паралельні один одному, отже вони рівні.

Розглянемо трикутники и  вони прямокутні, мають рівні кути, отже вони подібні, значить:

Відповідь: 1,5.

варіант 3

21.Спростіть вираз: .

Рішення.

маємо:


 Відповідь: 2,4.

22. При змішуванні першого розчину солі, концентрація якого 40%, і другого розчину цієї ж солі, концентрація якого 48%, вийшов розчин з концентрацією 42%. В якому відношенні були взяті перший і другий розчини?

Рішення.

Нехай перший розчин узятий в кількості x грам, тоді він містить 0,4x грам солі, а другий розчин узятий в кількості y грам, тоді він містить 0,48y грам солі. При змішуванні двох цих розчинів вийде розчин масою x + y грам, за умовою задачі, він містить 0,42 (x + y) Солі. Отже, можна скласти рівняння:

висловимо x через y:

Отже, ставлення, в якому були взяті розчини:

відповідь:

23. При якому значенні  пряма  має з параболою  рівно одну спільну точку? Знайдіть координати цієї точки. Побудуйте в одній системі координат дану параболу і пряму при знайденому значенні .

Рішення.

Графік функції зображений на малюнку.

Запишемо умову загальної точки:

пряма  матиме з параболою єдину спільну точку за умови, що дискримінант отриманого квадратного рівняння дорівнює нулю:  звідки  Підставивши значення параметра в рівняння, знаходимо

Відповідь: (-2; 0).

24.У трикутнику  кут  дорівнює 56 °, кут  дорівнює 64 °,  . Знайдіть радіус описаного навколо цього трикутника окружності.

Рішення.

кут  трикутника  дорівнює  = 180 ° - ?  = 60 °. Радіус описаного кола дорівнює .


 Відповідь: 3.

25.  У рівносторонньому трикутнику ABC точки M, N, K - Середини сторін АВ, ВС, СА відповідно. Доведіть, що трикутник MNK - Рівносторонній.

Рішення.

Так як точки M, N, K - середини сторін і трикутник ABC- рівносторонній, то відрізки AM, MB, BN, NC, KC, AK рівні. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні, таким чином, трикутники AMK, NMB, CNK рівні за двома сторонами і кутом між ними. Тоді MN = MK = KN, значить трикутник MNK- рівносторонній.

26.Три кола з центрами O1, O2 и O3 радіусами 1, 2 і 6 відповідно попарно стосуються зовнішнім чином. Знайдіть кут O1O2O3.

Рішення.

З умови торкання кіл знаходимо боку трикутника

За теоремою косинусів

звідки  тоді кут

Відповідь: 60 °.

варіант 4

21. Спростіть вираз: .

Рішення.

маємо:

.


 Відповідь: 4.

22.З пункту А в пункт В, відстань між якими 34 км, виїхав велосипедист. Одночасно з ним з В в А вийшов пішохід. Велосипедист їхав зі швидкістю, на 8 км / год більшою швидкості пішохода, і зробив у шляху півгодинну зупинку. Знайдіть швидкість пішохода, якщо відомо, що вони зустрілися в 24 км від пункту А.

Рішення.

Нехай швидкість пішохода - x км / год, тоді швидкість велосипедиста дорівнює (x + 8) км / год. Пішохід пройшов свою частину шляху за  , А велосипедист виконав свій шлях за  . Ці дві пори рівні, складемо рівняння:

Корінь -40 не підходить нам за умовою задачі. Швидкість пішохода дорівнює 4 км / год.

Відповідь: 4 км / год.

23.Відомо, що графіки функцій и  мають рівно одну спільну точку. Визначте координати цієї точки. Побудуйте графіки заданих функцій в одній системі координат.

Рішення.

Знайдемо абсциси точок перетину:

Графіки функцій, матимуть рівно одну точку перетину, якщо це рівняння має рівно одне рішення. Тобто, якщо дискримінант цього квадратного рівняння дорівнюватиме нулю.

Підставивши параметр  в рівняння, знайдемо  координату точки перетину цих функцій:

координата  знаходиться звідти ж шляхом підстановки координати  в будь-який з рівнянь, наприклад, у другу:

Тепер, знаючи  можемо побудувати графіки обох функцій (див. малюнок).

Відповідь: (2; -3).

24.Сторона ромба дорівнює 38, а гострий кут дорівнює 60 °. Висота ромба, опущена з вершини тупого кута, ділить сторону на два відрізки. Які довжини цих відрізків?

Рішення.

 Введемо позначення, як показано на малюнку. трикутник ABH - Прямокутний, в ньому кут A дорівнює 60 °. тоді відрізок AH можна знайти за формулою:

знайдемо відрізок HD:

Відповідь: 19,19.

25.У параллелограмме ABCD діагоналі AC и BD перетинаються в точці K. Доведіть, що площа паралелограма ABCD в чотири рази більше площі трикутника CKD.

Рішення.

 проведемо висоту  так, щоб вона проходила через точку  кути и  дорівнюють один одному як вертикальні. Згадаймо також, що діагоналі діляться точкою перетину навпіл, отже,  Розглянемо трикутники и  , Вони прямокутні, мають рівні кути і рівні гіпотенузи, отже ці трикутники рівні, а значить рівні відрізки и  . Таким чином,

Площа паралелограма дорівнює  а площа трикутника

26.Площа трикутника ABC дорівнює 80. бісектриса AD перетинає медіану BK в точці E, при цьому BD: CD = 1: 3. Знайдіть площу чотирикутника EDCK.

Рішення.

Нехай AK = KC = 3x, тоді AB = 2x, так як  по властивості бісектриси. значить,

Нехай S - площа трикутника ABC, тоді

Таким чином,

варіант 5

21. Вирішіть нерівність

Рішення.

Помножимо на 15, наведемо подібні доданки і розкладемо на множники:

Твір двох співмножників буде менше нуля, якщо співмножники мають різний знак (див. Малюнок). Таким чином, отримуємо відповідь:

відповідь:

22. Щоб накачати в бак 117 л води, потрібно на 5 хвилин більше часу, ніж на те, щоб викачати з нього 96 л води. За одну хвилину можна викачати на 3 л води більше, ніж накачати. Скільки літрів води накачується в бак за хвилину?

Рішення.

Нехай за хвилину в бак накачується  літрів води. Тоді за хвилину викачується  л води.
 За умовою завдання складемо рівняння:

,

звідки

Отримуємо квадратне рівняння

,

має коріння: и .
 Відкидаючи негативний корінь, знаходимо, що за хвилину в бак накачується 9 л води.
 Відповідь: 9.

23.При якому значенні  пряма  має з параболою  рівно одну спільну точку? Знайдіть координати цієї точки. Побудуйте в одній системі координат дану параболу і пряму при знайденому значенні .

Рішення.

Графік функції зображений на малюнку.

Запишемо умову загальної точки:

пряма  матиме з параболою єдину спільну точку за умови, що дискримінант отриманого квадратного рівняння дорівнює нулю:  звідки  Підставивши значення параметра в рівняння, знаходимо



Вимоги, Які ставлять до конструкції деталей машин | 2 сторінка

3 сторінка | 4 сторінка | 5 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати