Головна
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати

Приклад рішення задачі на рівновагу споживача з використанням множників Лагранжа

  1. F12.8 Приклади символів
  2. F13.8 Приклади символів
  3. I. Приблизний перелік питань рубіжного контролю.
  4. I. ХІМІЧНА РІВНОВАГА
  5. I. Цілі і завдання дисципліни, її місце в навчальному процесі
  6. I. Цілі і завдання курсової роботи.
  7. I. Цілі і завдання освоєння дисципліни

Сподіваюся, вам полегшить життя той розбір, який я наводжу нижче. Я знайшла його в одному з задачников - і поки це краще, що я змогла для вас знайти. Боюся, до понеділка більше я нічого не зможу.

Щиро бажаю вам, щоб інші завдання в контрольній роботі були більше на розуміння, а не на складну математику.

Приклад завдання на пошук рівноваги споживача:

Визначте, яку кількість товарів A і B буде купувати споживач, щоб максимізувати корисність, якщо його доход I = 45 д. Е, ціна товару A Pa = 1,5 д. Е, ціна товару B Pb = 7, 5 д. Е.

Функція корисності має вигляд .

дано:

I = 45

Pa = 1,5

Pb = 7,5

знайти:

A =?

B =?

Рішення:

Бюджетне обмеження має вигляд:

1,5 * A + 7,5 * B = 45

Для пошуку мінімуму самої верхньої кривої байдужості (тобто точки дотику самої верхньої кривої байдужості і лінії бюджетного обмеження) складаємо функцію Лагранжа:

Як ви помітили, при складанні функції Лагранжа використовуються обидві функції, в точці дотику графіків яких шукається мінімум). ? - (лямбда) - це множник Лагранжа, завдяки якому можна скласти функцію Лагранжа з рівнянь двох функцій, графіки яких мають точку дотику.

Далі за методом Лагранжа потрібно знайти перші похідні функції Лагранжа по всіх невідомих змінним, тобто по A, B, ? (якщо ви напружиться і згадайте старші класи школи, то похідна якраз і характеризувала значення функції в точки - а саме його ми і шукаємо ). Отже:

Я дуже сподіваюся, що ви пам'ятаєте, як шукати похідні і розумієте, чому вони тут вийшли саме так. Але якщо раптом немає - дайте знати, ось саме тут нічого складного якраз немає.

Рухаємося далі по методу Лагранжа:

Прирівняємо перші похідні до 0 і отримаємо систему виду:

Ви отримали систему з трьох рівнянь з трьома невідомими. Висловлюючи невідомі одне через інше, ви зможете знайти все три невідомих. Але нас цікавлять тільки два з них - А і В, множник ? - допоміжна величина.

Вирішуючи отриману систему, знаходимо, що:

А = 45/39

B = 225/39

Відповідь: споживач, щоб максимізувати корисність, набуватиме 45/39 одиниць товару A і 225/39 одиниць товару B.

резюме:

Щоб використовувати метод множників Лагранжа для пошуку рівноважного вибору споживача, вам потрібно знати:

1. рівняння корисності для споживача (U (A, B) = ...)

2. ціни на товари A і В (Pa і Pb)

3. рівень доходу споживача (I)

4. рівняння лінії бюджетного обмеження (I = Pa * A + Pb * B)

Далі ви виконуєте наступний набір дій:

1. Чи складаєте функцію Лагранжа, яка буде мати вигляд:

2. Знаходьте перші похідні щодо змінних A, B і ?

3. Отримані три похідних прирівнює до нуля і отримуєте систему рівнянь.

4. Вирішуєте систему рівнянь, знаходите значення всіх невідомих.

5. ? - допоміжний множник, який вам більше не потрібен, а ось знайдені значення А і В - і є ті обсяги товарів А і В, при яких споживач досягає оптимуму своїх потреб при наявних можливостях. Тобто виходить рівноважний вибір споживача.

Як і раніше бажаю вам успіхів і щиро вірю в те, що ви будете якомога більше думати головою і якомога менше заучувати в тупу.

Ваша М. А.



| Трохи історії.