Головна |
поліном ЛагранжаРішення шукаємо у вигляді , де li(z) - базисні поліноми N-го ступеня, для яких виконується умова: . Переконаємося в тому, що якщо такі поліноми побудовані, то LN(X) буде відповідати умовам інтерполяції: . Яким чином побудувати базисні поліноми? визначимо , i =0, 1,..., N. Легко зрозуміти, що , і т.д. функція li(z) Є поліномом N-го ступеня від z і для неї виконуються умови "базисних": = 0, i ? k ;, тобто k = 1, ..., i-1 або k = i + 1, ..., N. . Таким чином, нам вдалося вирішити задачу про побудову інтерполюючого полінома N- го ступеня, і для цього не потрібно вирішувати СЛАР. Поліном Лагранжа можна записати в вигляді компактної формули: . Похибка цієї формули можна оцінити, якщо початкова функція g(x) Має похідні до N +1 порядку: . З цієї формули випливає, що похибка методу залежить від властивостей функції g(x), а також від розташування вузлів інтерполяції і точки z. Як показують розрахункові експерименти, поліном Лагранжа має малу похибку при невеликих значеннях N<20. при б?льшіх Nпохибка починає рости, що свідчить про те, що метод Лагранжа не сходиться (тобто його похибка не убуває з ростом N). Розглянемо окремі випадки. Нехай N = 1, тобто задані значення функції тільки в двох точках. Тоді базові поліноми мають вигляд: , Тобто отримуємо формули кусочно-лінійної інтерполяції. Нехай N = 2. тоді: В результаті ми отримали формули так званої квадратичної або параболічної інтерполяції. приклад:Задані значень деякої функції:
Потрібно знайти значення функції при z =1, використовуючи інтерполяційний поліном Лгранжа. Для цього випадку N= 3, тобто поліном Лагранжа має третій порядок. Обчислимо значення базисних поліномів при z= 1:
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ | Метод найменших квадратів |