Головна

поліном Лагранжа

  1. Інтегрування рівнянь Лагранжа 2-го роду.
  2. Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа
  3. Кінетічній Потенціал. Рівняння Лагранжа другого роду для Консервативної системи
  4. Лекція 4. Рівняння Лагранжа 2-го роду
  5. Метод множників Лагранжа
  6. метод варіації параметрів
  7. Багаточлени Лагранжа і метод Сімпсона для обчислення визначених інтегралів

Рішення шукаємо у вигляді , де li(z) - базисні поліноми N-го ступеня, для яких виконується умова: . Переконаємося в тому, що якщо такі поліноми побудовані, то LN(X) буде відповідати умовам інтерполяції:

.

Яким чином побудувати базисні поліноми? визначимо

, i =0, 1,..., N.

Легко зрозуміти, що

 , і т.д.

функція li(z) Є поліномом N-го ступеня від z і для неї виконуються умови "базисних":

= 0, i ? k ;, тобто k = 1, ..., i-1 або k = i + 1, ..., N.

.

Таким чином, нам вдалося вирішити задачу про побудову інтерполюючого полінома N- го ступеня, і для цього не потрібно вирішувати СЛАР. Поліном Лагранжа можна записати в вигляді компактної формули: . Похибка цієї формули можна оцінити, якщо початкова функція g(x) Має похідні до N +1 порядку:

.

З цієї формули випливає, що похибка методу залежить від властивостей функції g(x), а також від розташування вузлів інтерполяції і точки z. Як показують розрахункові експерименти, поліном Лагранжа має малу похибку при невеликих значеннях N<20. при б?льшіх Nпохибка починає рости, що свідчить про те, що метод Лагранжа не сходиться (тобто його похибка не убуває з ростом N).

Розглянемо окремі випадки. Нехай N = 1, тобто задані значення функції тільки в двох точках. Тоді базові поліноми мають вигляд:

, Тобто отримуємо формули кусочно-лінійної інтерполяції.

Нехай N = 2. тоді:

В результаті ми отримали формули так званої квадратичної або параболічної інтерполяції.

приклад:Задані значень деякої функції:

x  3.5
f  -1  0.2  0.5  0.8

Потрібно знайти значення функції при z =1, використовуючи інтерполяційний поліном Лгранжа. Для цього випадку N= 3, тобто поліном Лагранжа має третій порядок. Обчислимо значення базисних поліномів при z= 1:

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ | Метод найменших квадратів

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати