Головна |
Лекція 2. Відповідність рядів.2.1. Ознака порівняння рядів з невід'ємними членами. Нехай дано два ряди и при un, vn ? 0. Теорема. якщо un ? vn при будь-якому n, То з збіжності ряду слід збіжність ряду , А з розбіжність ряду слід расходимость ряду . Доведення. позначимо через Sn и sn приватні суми рядів и . Оскільки за умовою теореми ряд сходиться, то його приватні суми обмежені, тобто при всіх n sn Приклад. Дослідити на збіжність ряд Оскільки , А гармонійний ряд розходиться, то розходиться і ряд . Приклад. Дослідити на збіжність ряд Оскільки , А ряд сходиться (як спадна геометрична прогресія), то ряд теж сходиться. Також використовується наступний ознака збіжності: Теорема. якщо і існує межа , Де h - число, відмінне від нуля, то ряди и ведуть однаково в сенсі збіжності. 2.2. Ознака Даламбера. Якщо для ряду з позитивними членами існує таке число q <1, що для всіх досить великих n виконується нерівність то ряд сходиться, якщо ж для всіх досить великих n виконується умова то ряд розходиться. 2.3. Граничний ознака Даламбера. Граничний ознака Даламбера є наслідком з наведеного вище ознаки Даламбера. Якщо існує межа , То при r <1 ряд сходиться, а при r> 1 - розходиться. Якщо r = 1, то на питання про збіжність відповісти не можна. Приклад. Визначити відповідність низки . Висновок: ряд сходиться. Приклад. Визначити відповідність низки Висновок: ряд сходиться. 2.4. Ознака Коші. (Радикальний ознака) Якщо для ряду з невід'ємними членами існує таке число q <1, що для всіх досить великих n виконується нерівність , То ряд сходиться, якщо ж для всіх досить великих n виконується нерівність то ряд розходиться. Слідство. Якщо існує межа , То при r <1 ряд сходиться, а при r> 1 ряд розходиться. Приклад. Визначити відповідність низки . . Висновок: ряд сходиться. Приклад. Визначити відповідність низки . Тобто ознака Коші не дає відповіді на питання про збіжність ряду. Перевіримо виконання необхідних умов збіжності. Як було сказано вище, якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прямує до нуля. , таким чином, необхідна умова збіжності не виконується, значить, ряд розходиться. 2.5. Інтегральний ознака Коші. Якщо j (х) - безперервна позитивна функція, спадна на проміжку [1; ?), то ряд j (1) + j (2) + ... + j (n) + ... = і невласний інтеграл однакові в сенсі збіжності. Приклад. ряд сходиться при a> 1 і розходиться a ? 1 тому відповідний невласний інтеграл сходиться при a> 1 і розходиться a ? 1. ряд називається общегармоніческімпоруч. Слідство. якщо f (x) и j (х) - Безперервні функції на інтервалі (a, b] і то інтеграли и поводяться однаково в сенсі збіжності. Лекція 1. Числові ряди | Лекція 3. Знакозмінні ряди. Якщо ряд сходиться абсолютно, то ряд, отриманий з нього будь-перестановкою членів, також абсолютно сходиться і має ту ж суму. | Лекція 4. Функціональні ряди. | Лекція 5. Статечні ряди. | | | | Ключі до тесту | |