Головна

Лекція 2. Відповідність рядів.

  1. Аммоноидеи. Загальна характеристика. Будова раковини і типи лопатевих ліній. Класифікація і характеристика загонів.
  2. Беззамкових брахіопод. Загальна характеристика. Будова раковини. Екологія і палеоекологія. Характеристика загонів.
  3. друга лекція
  4. Граптолоідеі. Морфологія. Онтогенез. Стратиграфічне значення. Екологія. Характеристика загонів.
  5. Достат. ознаки сход-ти покладе. рядів.
  6. Достатні ознаки збіжності знакозмінних рядів. Абсолютна і умовна збіжності
  7. Достатні ознаки збіжності знакоположітельних рядів.

2.1. Ознака порівняння рядів з невід'ємними членами.

Нехай дано два ряди и  при un, vn ? 0.

Теорема. якщо un ? vn при будь-якому n, То з збіжності ряду  слід збіжність ряду , А з розбіжність ряду слід расходимость ряду .

Доведення. позначимо через Sn и sn приватні суми рядів и  . Оскільки за умовою теореми ряд  сходиться, то його приватні суми обмежені, тобто при всіх n sn un ? vn, то Sn ? sn то приватні суми ряду теж обмежені, а цього досить для збіжності.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Оскільки  , А гармонійний ряд  розходиться, то розходиться і ряд .

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Оскільки  , А ряд  сходиться (як спадна геометрична прогресія), то ряд  теж сходиться.

Також використовується наступний ознака збіжності:

Теорема. якщо  і існує межа  , Де h - число, відмінне від нуля, то ряди и  ведуть однаково в сенсі збіжності.

2.2. Ознака Даламбера.

Якщо для ряду  з позитивними членами існує таке число q <1, що для всіх досить великих n виконується нерівність  то ряд  сходиться, якщо ж для всіх досить великих n виконується умова

 то ряд  розходиться.

2.3. Граничний ознака Даламбера.

Граничний ознака Даламбера є наслідком з наведеного вище ознаки Даламбера.

Якщо існує межа  , То при r <1 ряд сходиться, а при r> 1 - розходиться. Якщо r = 1, то на питання про збіжність відповісти не можна.

Приклад. Визначити відповідність низки .

Висновок: ряд сходиться.

Приклад. Визначити відповідність низки

Висновок: ряд сходиться.

2.4. Ознака Коші. (Радикальний ознака)

Якщо для ряду  з невід'ємними членами існує таке число q <1, що для всіх досить великих n виконується нерівність  , То ряд  сходиться, якщо ж для всіх досить великих n виконується нерівність  то ряд  розходиться.

Слідство. Якщо існує межа  , То при r <1 ряд сходиться, а при r> 1 ряд розходиться.

Приклад. Визначити відповідність низки .

 . Висновок: ряд сходиться.

Приклад. Визначити відповідність низки .

Тобто ознака Коші не дає відповіді на питання про збіжність ряду. Перевіримо виконання необхідних умов збіжності. Як було сказано вище, якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прямує до нуля.

,

таким чином, необхідна умова збіжності не виконується, значить, ряд розходиться.

2.5. Інтегральний ознака Коші.

Якщо j (х) - безперервна позитивна функція, спадна на проміжку [1; ?), то ряд j (1) + j (2) + ... + j (n) + ... =  і невласний інтеграл  однакові в сенсі збіжності.

Приклад. ряд  сходиться при a> 1 і розходиться a ? 1 тому відповідний невласний інтеграл  сходиться при a> 1 і розходиться a ? 1. ряд  називається общегармоніческімпоруч.

Слідство. якщо f (x) и j (х) - Безперервні функції на інтервалі (a, b] і  то інтеграли и  поводяться однаково в сенсі збіжності.

Лекція 1. Числові ряди | Лекція 3. Знакозмінні ряди.


Якщо ряд сходиться абсолютно, то ряд, отриманий з нього будь-перестановкою членів, також абсолютно сходиться і має ту ж суму. | Лекція 4. Функціональні ряди. | Лекція 5. Статечні ряди. | | | | Ключі до тесту |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати