Головна |
Уявімо вектори реальних значень вимірюваних величин і параметрів у вигляді сум вихідних векторів і малих поправок до них:
Yn1 = yn1 + vn1, (K.11)
Xk1 = xk1 + Xk1. (П.4)
Поправки до вимірювань vn1 і наближеним значенням параметрів Xk1 вважаємо значно мeньшімі по модулю самих результатів вимірювань yn1 і наближених параметрів xk1 тобто |vn1| « | yn1| і | Xk1| « | xk1|. Таке припущення ґрунтується на тому, що геодезичні вимірювання yn1 виконуються з відносними СКО порядку не нижче 10-3? 10-4, А наближені значення параметрів xk1 обчислюють за тими ж вимірам.
При підстановці (K.11) і (п.4) в ПУС (п.1) отримуємо такий результат:
yn1 + vn1 = Fn1(xT1k + XT1k; ZT1q), (П.5)
Розклавши функцію (п.5) в ряд Тейлора в околиці точок yn1 и xk1 і обмежившись лише лінійними членами, отримаємо лінеаризовані ПУС (ЛПУС):
yn1 + vn1 =Fn1(xT1k;zT1q) + {?Fi/ ?Xj} * Xk1. (П.6)
Приватні похідні функцій Fi за параметрами Xj - Це матриця коефіцієнтів лінеаризованих ПУС Ank. Числові значення похідних знаходять по наближеним значенням параметрів xk1. різниця векторів yn1 і Fn1(xT1k;zT1q) являє собою вектор «вільних членів»ЛПУС:
Ln1 = yn1 - Fn1(xT1k zT1q). (П.7)
З урахуванням введених позначень, рівняння (п.6) запишуться таким чином:
An kXk1 - Ln1 = vn 1. (П.8)
висунувши вимогу лінійної незалежності параметрів, ми маємо право вважати, що
rank (An k) = K. (П.9)
В такому випадку матриця An k буде матрицею повного столбцовую рангу.
Система ЛПУС (п.8) містить, крім невідомих поправок Xk1до параметрів xk1, так ж невідомі поправки vn 1 в вимірювання yn1. Це означає, що вона буде мати безліч рішень.
Для знаходження єдиних значень залежних векторів и на систему (п.8) накладається МНК-обмеження:
Ank * - Ln1 =
. (П.10)
Y =
Необхідною умовою існування екстремуму функції Y є рівність нулю її приватних похідних:
. (П.11)
Система (п.11) містить «k» рівнянь і «n» невідомих , Записаних в рядок. Транспоніруя цю систему, отримуємо «лемму Гаусса»:
. (П.12)
Ці невідомі є функціями (п.8) «k» параметрів, що дозволяє отримати систему нормальних параметричних рівнянь, Число яких дорівнює числу невідомих:
. (П.13)
тут
Nkk = AT K-1 A - (П.14)
матриця коефіцієнтів, а
Gk1 = AT K-1 L - (П.15)
вектор вільних членовнормальних параметричних рівнянь.
Припустивши лінійну незалежність вектора параметрів, ми встановили, що матриця коефіцієнтів ЛПУС An k є матрицею повного столбцовую рангу. В такому випадку матриця коефіцієнтів нормальних рівнянь Nkk = AT K-1 A буде квадратної матрицею повного рангу, Тобто
rank (Nk k) = K. (П.16)
Це означає, що det (N) ? 0 і існує зворотна матриця N-1. тоді рішення нормальних параметричних рівнянь дасть коріння системи (П.13):
, (П.17)
є МНК-поправками до наближених значень параметрів xk1. поправки стають випадковими величинами, Будучи функціями вільних членів (п.15), в які увійшли похибки вимірювань.
Підставляючи МНК-поправки в ЛПУС (П.10), отримуємо МНК-поправки в вимірювання:
= Ank * - Ln1. (П.10)
Останній крок, МНК-оптимізація або «зрівнювання», Виконується шляхом введення знайдених МНК-поправок в наближені значення параметрів і в вимірювання:
= xk1 + , (П.18)
= yn1 + . (П.19)
Отже, алгоритм МНК-оптимізації або зрівнювання результатів вимірювань і параметрів отримано.
Теоретичні посилання. | параметричної версії
Постановка задачі | Оцінка точності вимірювань | і функцій від них |