Головна

Величин і параметрів (Уравнивание).

  1. Абсолютні І Відносні ВЕЛИЧИНИ
  2. Аналіз прибутку і рентабельності, фактори, що впливають на їх величину.
  3. Аналіз чутливості практичних параметрів до зміни зовнішніх і внутрішніх факторів.
  4. Аномалії величини зубів
  5. Літерних позначень ВЕЛИЧИН І ОДИНИЦІ ЇХ ВИМІРЮВАННЯ
  6. Літерних позначень ВЕЛИЧИН І ОДИНИЦІ ЇХ ВИМІРЮВАННЯ, ПРИЙНЯТІ У РАСЧЕТАХ НА МІЦНІСТЬ І СТІЙКІСТЬ
  7. У канделах вимірюється величина

Уявімо вектори реальних значень вимірюваних величин і параметрів у вигляді сум вихідних векторів і малих поправок до них:

Yn1 = yn1 + vn1, (K.11)

Xk1 = xk1 + Xk1. (П.4)

Поправки до вимірювань vn1 і наближеним значенням параметрів Xk1 вважаємо значно мeньшімі по модулю самих результатів вимірювань yn1 і наближених параметрів xk1 тобто |vn1| « | yn1| і | Xk1| « | xk1|. Таке припущення ґрунтується на тому, що геодезичні вимірювання yn1 виконуються з відносними СКО порядку не нижче 10-3? 10-4, А наближені значення параметрів xk1 обчислюють за тими ж вимірам.

При підстановці (K.11) і (п.4) в ПУС (п.1) отримуємо такий результат:

yn1 + vn1 = Fn1(xT1k + XT1k; ZT1q), (П.5)

Розклавши функцію (п.5) в ряд Тейлора в околиці точок yn1 и xk1 і обмежившись лише лінійними членами, отримаємо лінеаризовані ПУС (ЛПУС):

yn1 + vn1 =Fn1(xT1k;zT1q) + {?Fi/ ?Xj} * Xk1. (П.6)

Приватні похідні функцій Fi за параметрами Xj - Це матриця коефіцієнтів лінеаризованих ПУС Ank. Числові значення похідних знаходять по наближеним значенням параметрів xk1. різниця векторів yn1 і Fn1(xT1k;zT1q) являє собою вектор «вільних членів»ЛПУС:

Ln1 = yn1 - Fn1(xT1k zT1q). (П.7)

З урахуванням введених позначень, рівняння (п.6) запишуться таким чином:

An kXk1 - Ln1 = vn 1. (П.8)

висунувши вимогу лінійної незалежності параметрів, ми маємо право вважати, що

rank (An k) = K. (П.9)

В такому випадку матриця An k буде матрицею повного столбцовую рангу.

Система ЛПУС (п.8) містить, крім невідомих поправок Xk1до параметрів xk1, так ж невідомі поправки vn 1 в вимірювання yn1. Це означає, що вона буде мати безліч рішень.

Для знаходження єдиних значень залежних векторів и  на систему (п.8) накладається МНК-обмеження:

Ank *  - Ln1 =

. (П.10)

Y =

Необхідною умовою існування екстремуму функції Y є рівність нулю її приватних похідних:

 . (П.11)

Система (п.11) містить «k» рівнянь і «n» невідомих  , Записаних в рядок. Транспоніруя цю систему, отримуємо «лемму Гаусса»:

 . (П.12)

Ці невідомі є функціями (п.8) «k» параметрів, що дозволяє отримати систему нормальних параметричних рівнянь, Число яких дорівнює числу невідомих:

 . (П.13)

тут

Nkk = AT K-1 A - (П.14)

матриця коефіцієнтів, а

Gk1 = AT K-1 L - (П.15)

вектор вільних членовнормальних параметричних рівнянь.

Припустивши лінійну незалежність вектора параметрів, ми встановили, що матриця коефіцієнтів ЛПУС An k є матрицею повного столбцовую рангу. В такому випадку матриця коефіцієнтів нормальних рівнянь Nkk = AT K-1 A буде квадратної матрицею повного рангу, Тобто

rank (Nk k) = K. (П.16)

Це означає, що det (N) ? 0 і існує зворотна матриця N-1. тоді рішення нормальних параметричних рівнянь дасть коріння системи (П.13):

 , (П.17)

є МНК-поправками до наближених значень параметрів xk1. поправки  стають випадковими величинами, Будучи функціями вільних членів (п.15), в які увійшли похибки вимірювань.

Підставляючи МНК-поправки  в ЛПУС (П.10), отримуємо МНК-поправки в вимірювання:

 = Ank *  - Ln1. (П.10)

Останній крок, МНК-оптимізація або «зрівнювання», Виконується шляхом введення знайдених МНК-поправок в наближені значення параметрів і в вимірювання:

= xk1 +  , (П.18)

= yn1 +  . (П.19)

Отже, алгоритм МНК-оптимізації або зрівнювання результатів вимірювань і параметрів отримано.

Теоретичні посилання. | параметричної версії


Постановка задачі | Оцінка точності вимірювань | і функцій від них |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати