Головна

Визначення стійкості. Стійкість за Ляпуновим.

  1. II. Прикметник як ліве визначення іменника (ол).
  2. III. визначення категорій
  3. III. визначення категорій
  4. III. визначення категорій
  5. III. визначення категорій
  6. III. визначення категорій
  7. III. визначення категорій

Під стійкістю функціонування складної системи розуміють здатність системи зберігати необхідні властивості в умовах дій збурень.

Розглядаючи нелінійні системи вводять поняття стійкості «в малому», «у великому», «в цілому».

Система стійка «в малому», якщо констатують лише факт наявності області стійкості, але не визначають будь-яким чином її межі. Систему називають стійкою «у великому», коли визначені межі області стійкості, т. Е. Визначено межі області початкових відхилень, при яких система повертається в початковий стан.

Коли система повертається в початковий стан при будь-яких початкових умовах, систему називають стійкою «в цілому». Стійкість «в цілому» для певного класу нелинейностей називають «абсолютною стійкістю».

Постановка задачі.  (1)

 y1 ... yn- речові змінні, що характеризують стан системи.
 Y1 ... Yn- відомі функції, що задовольняють умові існування і єдиності рішення.

Невозмущенное рух - деяке цілком певний рух системи, що підлягає дослідженню на стійкість. Обуренню піддаються тільки початкові умови.
 Незбурених руху системи відповідає певний приватне рішення ДУ (1)

Дамо початкових значень деякий приріст ?

Рух системи, що відповідають зміненим початковим умовам (4), є збурений рух, а ?1 ... ? n - обурення.

позначимо
 yj
 - Обурений рух fj - Невозмущенное рух xj - Відхилення чи версія xj = yj (t) - fj (t) (j = 1 ... n) (5)
 якщо х1 = 0, ..., хn = 0 (6), то збурений рух збігається з необуреним

Геометрично можна інтерпретувати так: сукупність відхилень в n-вимірному просторі змінних x1 ... xn визначає точку М (зображає точка). У возмущенном русі при зміні в-н x1 ... xn, М буде описувати деяку траєкторію. Незбурених руху xj = 0 відповідає нерухома точка - початок координат.

Міра відхилення:

При t = t0 xj = x0j = ?j (j = 1..n), т. Е. Початкові значення відхилень xojпредставляют обурення системи (8)

Визначення стійкості руху за Ляпуновим.
 Якщо з будь-якого позитивного числа ?, як би воно не було мало, можна знайти таке позитивне число ?, що при будь-яких збурень x0j, що задовольняють умові  (9) і при будь-яких  буде визначатися нерівність  (10), то невозмущенное рух стійко, В іншому випадку немає.
 Практично стійкість даного невозмущенного руху означає, що при досить малих початкових збурень, збурений рух буде як завгодно мало відрізнятися від незбуреного.
 Якщо ж невозмущенное рух нестійкий, то збурений рух буде відходити від нього, як би малі не були початкові обурення.
 Якщо невозмущенное рух стійко і при цьому будь-який збурений рух при досить малих початкових збурень прагне до незбуреного руху, т. Е  (11), то невозмущенное рух називається асимптотично стійким

Розглянемо сферу  Виберемо радіус v? довільно малим. Якщо рух стійко, то для цієї сфери повинна знайтися інша сфера  , Що володіє наступною властивістю.

Зображає точка М, почавши свій рух з будь-якого положення М0, лежачого всередині або на поверхні сфери ?, при своєму подальшому русі залишається завжди всередині сфери ?, ніколи не досягаючи її поверхні.

Якщо ж невозмущенное рух нестійкий, то хоча б одна траєкторія зображає точки М з плином часу перетне сферу ? зсередини назовні при як завгодно близькому положенні точки М0 до початку координат.
Геометрично це означає, що при асимптотичної стійкості зображає точка повинна необмежено прагне до початку координат, не виходячи зі сфери ?.

У тих випадках, коли асимптотична стійкість має місце при будь-яких збурення (не обов'язково малих), невозмущенное рух називається асимптотично стійким в цілому. Іноді стійкість має місце не за будь-яких збурень, а при збуреннях, підпорядкованих певним вимогам. Така стійкість називається умовної.

Особливості визначення стійкості по Ляпунову.
 1. Обурення накладаються тільки на початкові умови, що фізично говорить про те, що збурений рух відбувається при тих же джерелах енергії, що і невозмущенное.
 2. Стійкість розглядається на нескінченно великому інтервалі часу.
 3. Обурення передбачаються малими.
 Проте, методи розвинені Ляпуновим лежать в основі дослідження інших видів стійкості руху.


39. Підхід до оцінки стійкості по лінеаризоване рівнянням.

Лінеаризоване рівняння - рівняння в варіаціях.

Складемо рівняння обуреного руху
 yj (t) = fj (t) + xj (t) Підставами в рівняння  (1)  де  - Сукупність членів, що залежать від відхилень xi в ступеня вище першої. Врахуємо, що в невозмущенном русі функції fj (t) повинні задовольняти рівнянню (1), т. Е.

Тоді диф. рівняння обуреного руху

в загальному випадку є функціями часу, зокрема можуть бути постійними.
 Якщо в рівняннях (12) відкинути члени  , То отримані при цьому рівняння називаються рівняннями першого наближення.

Рівняння першого наближення в багатьох випадках дають правильну відповідь на питання про стійкість руху, але іноді висновок, який можна отримати з цих наближених рівнянь нічого спільного не має з рішенням вихідних рівнянь.

Керованість і наблюдаемость. | Прямий метод Ляпунова.


Алгоритм застосування критерію. | Приклад. | Складання статистичних оцінок; аналіз найбільш часто використовуваних законів розподілу. | Непараметричні статистики; статистика Манна-Уїтні. | Метод Бокса-Уїлсона. | Метод головних компонент. | Факторний аналіз. | Нечітке уявлення інформації; типові функції приналежності, міра нечіткості. | Загальна схема нечіткого виведення. | Єдиний підхід до проблеми лінеаризації |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати