Головна |
Одноканальна система масового обслуговування
з обмеженою чергою
Припустимо, що незалежно від того, скільки вимог надходить на вхід обслуговуючої системи, дана система (черга і обслуговуються клієнти) не може вмістити більше N-Требования (заявок), т. е. клієнти, які не потрапили в очікування, змушені обслуговуватися в іншому місці. Нарешті, джерело, що породжує заявки на обслуговування, має необмежену (нескінченно велику) ємність.
Граф станів СМО в цьому випадку має вигляд, показаний на рис. 1.2.
Мал. 1.2. Граф станів одноканальної СМО з очікуванням
(Схема загибелі і розмноження)
Стану СМО мають наступну інтерпретацію:
S0 - «Канал вільний»;
S1 - «Канал зайнятий» (черги немає);
S2 - «Канал зайнятий» (одна заявка стоїть в черзі);
... ...
Sn - «Канал зайнятий» (n-1 Заявок стоїть у черзі);
SN - «Канал зайнятий» (N-1 Заявок стоїть у черзі).
Стаціонарний процес в даній системі буде описуватися наступній системою алгебраїчних рівнянь:
(1.2)
де , n - Номер стану.
Рішення наведеної вище системи рівнянь (1.2) для нашої моделі СМО має вигляд:
тоді:
Слід зазначити, що виконання умови стаціонарності для даної СМО не обов'язково, оскільки число допускаються в обслуговуючу систему заявок контролюється шляхом введення обмеження на довжину черги (яка не може перевищувати N-1), а не співвідношенням між інтенсивністю вхідного потоку, т. Е. Ставленням .
Визначимо характеристики одноканальної СМО з очікуванням і обмеженою довжиною черги, рівною (N-1):
- Ймовірність відмови в обслуговуванні заявки:
- Відносна пропускна здатність системи:
- Абсолютна пропускна здатність:
A = q· ?;
- Середнє число знаходяться в системі заявок:
- Середній час перебування заявки в системі:
- Середня тривалість перебування клієнта (заявки) в черзі:
- Середнє число заявок (клієнтів) в черзі (довжина черги):
Розглянемо приклад одноканальної СМО з обмеженою чергою.
Приклад 4.3. Спеціалізований пост діагностики є одноканальний СМО. Число стоянок для автомобілів, які очікують проведення діагностики, обмежена і дорівнює 3 [(N - 1) = 3]. Якщо все стоянки зайняті, т. Е. В черзі вже знаходиться три автомобілі, то черговий автомобіль, який прибув на діагностику, в чергу на обслуговування не стає. Потік автомобілів, які прибувають на діагностику, розподілений за законом Пуассона і має інтенсивність = 0,85 (автомобіля на годину). Час діагностики автомобіля розподілено по показовому закону і в середньому дорівнює 1,05 год.
Потрібно визначити ймовірні характеристики поста діагностики, що працює в стаціонарному режимі.
Рішення
1. Параметр потоку обслуговування автомобілів:
2. Наведена інтенсивність потоку автомобілів визначається як відношення інтенсивностей и , Т. Е.
3. Обчислимо фінальні ймовірності системи:
4. Імовірність відмови в обслуговуванні автомобіля:
4. Відносна пропускна спроможність посту діагностики:
.
6. Абсолютна пропускна спроможність посту діагностики
(Автомобіля на годину)
7. Середнє число автомобілів, що знаходяться на обслуговуванні і в черзі (тобто в системі масового обслуговування):
8. Середній час перебування автомобіля в системі:
години
9. Середня тривалість перебування заявки в черзі на обслуговування:
години.
10. Середнє число заявок в черзі (довжина черги):
.
Роботу розглянутого поста діагностики можна вважати задовільною, так як пост діагностики не обслуговує автомобілі в середньому в 15,8% випадків (PВТК = 0,158).
Приклад 1.3. Нехай на аеродром літаки прибувають з інтенсивністю 27 літаків на годину, час приземлення становить 2 хвилини, дозволяється перебувати над аеродромом не більше m= 10 літаків. Потрібно визначити число N посадочних смуг, яке гарантуватиме вірогідність відмови, що не перевищує 0.05, і середній час очікування, що не перевищує 5 хвилин.
Рішення
Тут ? = 27, ? = 30, ? = ? / ? = 0.9.
Шукаємо ймовірність простою диспетчерів служби посадки:
Імовірність відмови в посадці дорівнює:
Середній час очікування в повітрі:
де
Виконуючи арифметичні дії при N= 1, виявляємо, що хвилин і що однією посадкової смуги при зазначених умовах цілком достатньо.
Гра за білих | Порядок регулювання зазору між клапаном і носком коромисла в двигуні ЗІЛ-131