На головну

Арифметичні дії над числами в позиційній системі числення

  1. B. По колу в якомусь порядку виписані числа від 1 до 77 [до 88, до 99]. Яка мінімально можлива сума модулів різниць між сусідніми числами?
  2. Grammar Revision по системі часів Активний заставу
  3. I. Природознавство в системі науки і культури
  4. II. Особливості обчислення місячної заробітної плати вчителів у залежності від обсягу навчального навантаження.
  5. II.3.3) Сила і простір дії законів.
  6. III. Група допоміжних інструментів для сприяння у виконанні основного етапу операції.
  7. III. Особливості обчислення заробітної плати викладачів освітніх організацій, що реалізують освітні програми середньої професійної освіти.

Сформулюємо правила виконання арифметичних дій над числами, які записані в позиційній системі числення. Ці правила інженери використовують при розробці технічних пристроїв, що виконують арифметичні дії.

Обмежимося правилами, справедливими для позиційних систем числення з постійною підставою і з природним порядком проходження ваг. Крім того, в даному розгляді обмежимося діями додавання і віднімання. Більш складні дії арифметики можна отримати, використовуючи додавання і віднімання.

При додаванні однорозрядних чисел користуються таблицею додавання. Для десяткової системи числення її називають таблицею Архімеда і вивчають в першому класі школи (вона зазвичай зображена на обкладинці зошитів з арифметики).

Ось як виглядає ця таблиця:

Таблиця додавання однозначних чисел для десятковоїсистеми

 0 + 0 = 0  0 + 1 = 1  0 + 2 = 2  0 + 3 = 3  0 + 4 = 4  0 + 5 = 5  0 + 6 = 6  0 + 7 = 7  0 + 8 = 8  0 + 9 = 9
 1 + 0 = 1  1 + 1 = 2  1 + 2 = 3  1 + 3 = 4  1 + 4 = 5  1 + 5 = 6  1 + 6 = 7  1 + 7 = 8  1 + 8 = 9 1 + 9 = 10
 2 + 0 = 2  2 + 1 = 3  2 + 2 = 4  2 + 3 = 5  2 + 4 = 6  2 + 5 = 7  2 + 6 = 8  2 + 7 = 9 2 + 8 = 10 2 + 9 = 11
 3 + 0 = 3  3 + 1 = 4  3 + 2 = 5  3 + 3 = 6  3 + 4 = 7  3 + 5 = 8  3 + 6 = 9 3 + 7 = 10 3 + 8 = 11 3 + 9 = 12
 4 + 0 = 4  4 + 1 = 5  4 + 2 = 6  4 + 3 = 7  4 + 4 = 8  4 + 5 = 9  4 + 6 = 10 4 + 7 = 11 4 + 8 = 12 4 + 9 = 13
 5 + 0 = 5  5 + 1 = 6  5 + 2 = 7  5 + 3 = 8  5 + 4 = 9 5 + 5 = 10 5 + 6 = 11 5 + 7 = 12 5 + 8 = 13 5 + 9 = 14
 6 + 0 = 6  6 + 1 = 7  6 + 2 = 8  6 + 3 = 9  6 + 4 = 10  6 + 5 = 11 6 + 6 = 12 6 + 7 = 13 6 + 8 = 14 6 + 9 = 15
 7 + 0 = 7  7 + 1 = 8  7 + 2 = 9  7 + 3 = 10  7 + 4 = 11  7 + 5 = 12  7 + 6 = 13 7 + 7 = 14 7 + 8 = 15 7 + 9 = 16
 8 + 0 = 8  8 + 1 = 9  8 + 2 = 10  8 + 3 = 11  8 + 4 = 12  8 + 5 = 13  8 + 6 = 14  8 + 7 = 15 8 + 8 = 16 8 + 9 = 17
 9 + 0 = 9  9 + 1 = 10  9 + 2 = 11  9 + 3 = 12  9 + 4 = 13  9 + 5 = 14  9 + 6 = 15  9 + 7 = 16  9 + 8 = 17 9 + 9 = 18

Таблиця симетрична щодо діагоналі, тому досить враховувати тільки її половину (плюс саму діагональ - тобто 55 комбінацій з 100) - відповідні комбінації відзначені в таблиці жирним шрифтом.

Для кожної пари однорозрядних доданків таблиця дає значення результату, що отримується в даному розряді після складання. Для майже половини сполучень доданків (точніше, для 25 з 55) результат складання не вміщується в один розряд і дає одиницю перенесення в наступний розряд - відповідні комбінації відзначені в таблиці підкресленням.

Аналогічно можна скласти таблицю віднімання однорозрядних чисел. У ній деякі комбінації доданків зажадають обліку позику з наступного розряду.

Таким чином, для автоматизації складання однорозрядних чисел слід спроектувати пристрій з двома входами, на кожен з яких надходить цифра доданка, і з двома виходами: на одному формується цифра суми (з можливими значеннями від 0 до 9), на другому виході формується значення перенесення, яке може приймати тільки значення 0 або 1. Однак технічна реалізація пристрою підсумовування десяткових одноразорядних чисел виявляється щодо складної. У двійковій системі це виходить набагато простіше

Тепер сформулюємо правило складання багаторозрядних чисел.

Для складання (вирахування) багаторозрядних чисел A і B слід складати (віднімати) окремо цифри в кожному з розрядів, користуючись наведеною таблицею додавання (віднімання), з урахуванням можливого перенесення (позички) з попереднього (молодшого) розряду.

У цій фразі коротко сформульовано досліджуване в початковій школі правило складання (вирахування) стовпчиком. Якщо потрібно виконати дію вручну (в практиці програмування доводиться іноді таке робити), можна зробити це на папері «в стовпчик». Якщо ви сидите за комп'ютером, викличте «Калькулятор» і переведіть його в «інженерний» вид.

Облік перенесення просто означає, що доведеться скласти не два операнда, а три. Це можна зробити і на суматорі з двома входами, тільки за два дії.

Тепер розглянемо, як виглядає таблиця додавання в двійковій системі числення, де цифр всього дві:

Двійкова таблиця додавання

 0 + 0 = 0  0 + 1 = 1  
 1 + 0 = 1  1 + 1 = 102  (Результат зображений в двійковій системі числення!)

Ця таблиця гранично проста. Далі ми опишемо цю таблицю, використовуючи символіку алгебри логіки.

Для складання для багаторозрядних двійкових чисел повністю годиться сформульоване трохи раніше правило.

 



Як можна виконати переклад з однієї системи числення в іншу | Діапазон представимо значень в N-бітової (обмеженою) розрядної сітці

Системи числення та дії додавання і віднімання | Діапазон представимо значень в N-бітової сітці | двійкові суматори | Ідеї ??прискорення поширення перенесення | Суматор з умовними переносами |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати