Головна

невласні інтеграли

  1. невласні інтеграли
  2. Перші інтеграли рівнянь Лагранжа.
  3. поверхневі інтеграли
  4. Поверхневі інтеграли першого роду

Обчислення інтегралів з нескінченними межами від безперервних функцій.

1.Обчислити невласний інтеграл

Рішення. Підінтегральна функція визначена і неперервна при всіх значеннях х і, отже, має первісну Ф (х) =  За визначенням маємо:

2.Обчислити невласний інтеграл

Рішення. У цьому прикладі обидва межі інтегрування нескінченні: тому попередньо розбиваємо даний інтеграл на два:

3.Сходиться невласний інтеграл

Рішення.

Застосуємо правило інтегрування частинами, вважаючи  . Будемо мати:

Ця межа не існує, отже, інтеграл розходиться.

4.Обчислити інтеграл.

Рішення. поклавши  , Отримаємо:

Ми отримали невласний інтеграл. Він легко обчислюється таким чином:

Обчислення невласних інтегралів від необмежених функцій.

1.Обчислити невласний інтеграл.

Рішення. Перетворимо інтеграл наступним чином:

В інтегралі I1 подинтегральная функція неперервна в проміжку [1; 2], тому його можна обчислити за формулою Лейбніца

.

інтеграл I2 невласний, так як підінтегральна функція  при  . За визначенням маємо:

остаточно,

2.Обчислити невласний інтеграл

.

Рішення. Перетворимо даний інтеграл наступним чином:

.

інтеграл I1 легко обчислюється за допомогою формули Ньютона-Лейбніца (законність застосування формули Ньютона-Лейбніца випливає з безперервності підінтегральної функції)  . інтеграл I2 є невласним інтегралом.

Невласний інтеграл I2 має бути поданий у вигляді суми двох інтегралів (бо точка розриву х = 0 лежить всередині проміжку інтегрування):

 Отже, .

3.Обчислити невласний інтеграл

.

Рішення. Підінтегральна функція необмежена в околицях точок х = 0 і х = 1. Тож уявімо інтеграл у вигляді суми двох інтегралів:

.

Обидва інтеграла I1 і I2 невласні.

За визначенням маємо:

4.Обчислити невласний інтеграл

.

Рішення. Тут підінтегральна функція  терпить нескінченний розрив в точці х = 1, але її первісна  неперервна на проміжку [1; 2]. Тому тут може бути застосована формула Ньютона-Лейбніца.

.

Варіант 1

1. Знайти інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Обчисліть площу еліпса:  , де

4. Обчисліть площу області, обмеженої віссю ОХ і графіком функції:

5. Знайдіть довжину дуги кривої:

6. Обчисліть площу бічної поверхні конуса з висотою h і радіусом підстави r.

Варіант 2

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)

4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл  . У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої кардіоїд

4. Знайдіть площу області, обмеженої кривими:

5. Обчисліть довжину дуги кривої:  , Укладеної між точками перетину з віссю ОХ.

6. Обчисліть об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ криволінійної трапеції, обмеженою

варіант 3

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої кривою  і віссю ОХ.

4. Знайдіть площу області, обмеженої лінією ,  і віссю ОХ.

5. Обчислити довжину дуги кола

6. Знайти об'єм тіла, отриманого від обертання фігури, обмеженої лініями  навколо осі ОХ.

варіант 4

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої астроїда

.

4. Знайдіть площу області, обмеженої осями ОХ, ОУ і графіком функції

5. Знайдіть довжину дуги кривої  між точками з абсциссами х = 0 і х = .

6. Знайти площу поверхні, отриманої обертанням кардіоїди  навколо полярної осі.

варіант 5

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої лемніската

4. Знайдіть площу області, обмеженої графіком функції  і віссю ОХ.

5. Знайдіть довжину дуги кривої

,

6. Знайти об'єм тіла, отриманого від обертання навколо осі ОХ фігури, обмеженої лініями: .

варіант 6

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої кардіоїд

.

4. Знайдіть площу області, обмеженої графіком функції  , Віссю ОХ і прямий х = а, де а - точка екстремуму цієї функції.

5. Знайдіть довжину дуги кривої

6. Знайти площу поверхні еліпсоїда, отриманого від обертання еліпса  навколо осі ОУ.

варіант 7

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої кривими

4. Знайдіть площу області, обмеженої кривою  і віссю абсцис.

5. Знайдіть довжину дуги кривої  , Укладеної всередині параболи

6. Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженою циклоїдою ,  і віссю ОХ.

варіант 8

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої кривою .

4. Знайдіть площу області, обмеженої віссю ОХ і кривої .

5. Знайдіть довжину дуги кривої  між точками з абсциссами х = 1 і х = 2

6. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням петлі кривої  навколо осі ОХ.

варіант 9

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої кривою .

4. Знайдіть площу області, обмеженої віссю ОХ і кривої .

5. Знайдіть довжину дуги кривої  , Відтятою прямий х = 4/3.

6. Знайти площу поверхні кульової чаші, отриманої від обертання кола  навколо осі ОХ в межах від 0 до 1.

варіант 10

1. Знайдіть інтеграли: 1)  2)  3)  4)

2. Встановіть, чи буде сходитися невласний інтеграл. У разі збіжності знайдіть його значення.

3. Знайдіть площу області, обмеженої петлею кривої .

4. Знайдіть площу області, обмеженої равликом Паскаля .

5. Знайдіть довжину дуги кривої

, .

6. Коло радіуса 2 з центром в точці (0,7) обертається навколо осі ОХ. Знайти обсяг отриманого тіла обертання.

ЗМІСТ

План читання лекцій ... ... 3

§1. Невизначений інтеграл ... ... 4

1. Первісна функція. Невизначений інтеграл ... 4

2. Основні властивості невизначеного інтеграла ... 6

3. Метод безпосереднього інтегрування та підстановки ... 9

4. Способи інтегрування дробів виду  ... 11

5. Інтегрування по частинах ... ... 16

§2. Визначений інтеграл... ... 17

1. Поняття про певний інтеграл ... ... 17

2. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею ... 18

3. Основні властивості визначеного інтеграла ... 20

4. Теорема про среднем...22

5. Інтегрування по частинах в певному інтегралі ... 23

6. Заміна змінної в певному інтегралі ... 24

7. Невласні інтеграли ... ... 25

§3. Додатки певного інтеграла ... ... 26

1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур і довгі дуги ... ... 26

2. Обчислення обсягу тіла ... ... 31

3. Обчислення площі поверхні тіла обертання ... 33

§4. Поняття про наближеному обчисленні визначених інтегралів ... 34

1. Метод трапеций...34

2. Формула Симпсона...36

КОНТРОЛЬНА РОБОТА... ... 38

 



Обчислення ПЛОЩІ ПОВЕРХНІ ОБЕРТАННЯ | Укладач

приклади | Площ плоских фігур і довгі дуги | приклади | Обчислення обсягу тіла | Обчислення площі поверхні тіла обертання | метод трапецій | Формула Сімпсона | Обчислення ДОВЖИНИ ДУГИ ПЛОСКОЇ КРИВИЙ | Обчислення ПЛОЩ ФІГУР | Обчислення ОБСЯГІВ ТЕЛ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати