Головна

Обчислення ОБСЯГІВ ТЕЛ

  1. II. Обчислення висотних відміток точок в вершинах квадратів
  2. У 1900 році в Росії видобувалося більше половини від загальносвітових обсягів видобутку нафти.
  3. ВІДОМІСТЬ ОБСЯГІВ І ВАРТОСТІ РОБІТ
  4. Хвилі обсягів на взаємопов'язаних ринках
  5. Виконання вимірювань і обчислення результатів для колористичних і експозиційних ТИ
  6. Обчислення величини деформації елементів важільної передачі при гальмування вагона

1.Обчислити обсяг піраміди з висотою Н і площею підстави S0 (рис. 7)

Рішення. Вершину піраміди S приймемо за початок координат і направимо вісь Ох по висоті Н піраміди від вершини до основи. Розсічений піраміду площиною, паралельної підставі і віддаленої від вершини S на відстані х,  . Площа цього перетину залежить від х, і ми позначимо її через S (x). Користуючись відомим властивістю перетинів піраміди, паралельних основи, складаємо пропорцію.

 Мал. 7
 , звідки .

Обсяг піраміди дорівнює

.

2.Визначити обсяг сегмента параболоїда обертання.

Рішення. Нехай рівняння параболи, обертання якої навколо осі Оx дає даний параболоїд, буде  . Позначимо: h - висота сегмента параболоїда обертання, r - радіус підстави сегмента, х - відстань площині, паралельної підставі сегмента від вершини параболи обертання, а ?- радіус кола, що виходить в перетині параболоїда обертання зазначеної площиною. тоді  , А площа S (x) зазначеного перерізу дорівнює S (x) =  обсяг Vh сегмента параболоїда обертання дорівнює:

.

Площа S підстави сегмента дорівнює  і так як  , то  . Звідси  , І формулу для об'єму сегмента можна записати так:

,

тобто обсяг сегмента параболоїда обертання дорівнює половині твори площі підстави сегмента на його висоту.

3.Обчислити обсягу тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох площі, обмеженою параболою  і прямий у = 3х-1.

Рішення. Тіло утворене обертанням площі, обмеженої заданими кривими (рис. 8) навколо осі Ох.

 рис.8


Щоб знайти абсциси точок перетину кривих вирішуємо систему рівнянь:

Звідси х1= 1, х2= 2. У нашому випадку и  . Отже, маємо:

рис.8

4.Обчислити обсяг тора. Тором називається тіло, що виходить при обертанні кола радіуса а навколо осі, що лежить в його площині на відстані b від центру  (Форму тора має, наприклад, бублик).

Рішення. Нехай коло обертається навколо прямої AE (рис. 9). Тоді обсяг тора може бути розглянутий як різниця обсягів обертання криволінійних трапецій ABCDE і ABLDE навколо осі Оу.

 Мал. 9
 Якщо систему координат помістити, як показано на рис. 9, то рівняння кола LBCD матиме вигляд: ,

звідки  , Причому рівняння кривої BCD  , А рівняння кривої BCD .

Отже, шуканий обсяг дорівнює:

рис.9

.

5.Обчислити обсяг тіла, яке утворюється при обертанні однієї арки циклоїди  навколо осі абсцис.

Рішення. У формулі

Робимо заміну змінної, вважаючи  . Коли х змінюється від 0 до 2?а, t змінюється від 0 до 2?:

.

6.Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо полярної фігури, що обмежена цією віссю і дугою логарифмічною спіралі .

Рішення. Перетворимо рівняння кривої до параметричного виду

Ми маємо

Тому

.

Ми отримали від'ємне значення V, так як значенням ? = 0 відповідає точка (1; 0), а значенням ? - точка N  , Що лежить лівіше точки M. Отже,

.



Обчислення ПЛОЩ ФІГУР | Обчислення ПЛОЩІ ПОВЕРХНІ ОБЕРТАННЯ

Заміна змінної в певному інтегралі | невласні інтеграли | приклади | Площ плоских фігур і довгі дуги | приклади | Обчислення обсягу тіла | Обчислення площі поверхні тіла обертання | метод трапецій | Формула Сімпсона | Обчислення ДОВЖИНИ ДУГИ ПЛОСКОЇ КРИВИЙ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати