Головна

Обчислення ПЛОЩ ФІГУР

  1. II Про чотирьох фігур
  2. II. Обчислення висотних відміток точок в вершинах квадратів
  3. Алібастровая жіноча фігурка з Тель ас- Саванна. Близько 5400 р до. е.
  4. Виконання вимірювань і обчислення результатів для колористичних і експозиційних ТИ
  5. Обчислення величини деформації елементів важільної передачі при гальмування вагона
  6. Обчислення висот пунктів знімальної основи.

1. Обчислити площу фігури, обмеженою прямий у = х і параболою у = 2-х2.

Рішення. Знайдемо абсциси точок перетину прямої з параболою, вирішивши систему рівнянь (рис.2).

 Вирішуючи систему, отримаємо х1= -2, Х2= 1 - це і буде межі інтегрування. Шукана площа дорівнює:

2. Обчислити площу сегмента кола з підставою чи заввишки h. Радіус кола дорівнює r.

Рішення: Розташуємо осі координат так, як показано на рис. 3 Площа S криволінійної трапеції ABCDE дорівнює.


.

З рис. 3 видно, що  , а  , Де ?- центральний кут, що спирається на підставу сегмента. отже,  . Щоб отримати шукану площу сегмента, треба з площі криволінійної трапеції ABCDE відняти площу прямокутника ABDE.

Таким чином,

Легко помітити, що

.

Підставивши, отримаємо:

.

Ця формула добре відома з елементарної математики і може бути отримана геометричним шляхом.

3. Знайти площу фігури, обмеженою двома гілками кривої

(У-х)2= х3 і прямий х = 1.

Рішення. Зауважимо, що у якнеявна функція від х, визначена лише при х?0 (ліва частина рівняння завжди неотрицательна). Знайдемо рівняння двох гілок кривої:

Очевидно, що  при х?0 (рис. 4).

 Тому

 Зауваження. При обчисленні площі криволінійної трапеції в разі, коли верхня межа задана параметричними рівняннями ,  , У формулі  треба зробити заміну змінної. поклавши  . Тоді отримаємо:

 рис.4

Де ? і ? - значення параметра t, що відповідають значенням х = а і х = b, т. Е. .

4.Знайти площу фігури, обмеженою однієї аркою циклоїди

і віссю Ох.

Рішення. Арка циклоїди описується при зміні t в межах від 0 до 2?, так як у (0) = у (2?) = 0, а в інших точках зазначеного проміжку у 0. Межі інтегрування дорівнюють відповідно х (0) = 0 і х (2?) = 2?а.

Отже, шукана площа дорівнює:

.

Зробимо підстановку x = a (t-sint), y = a (1-cost), dx = a (1-cost) dt. Коли х пробігає відрізок [0; 2?a], t пробігає відрізок [0; 2?]. Тому

Так як площа кола радіуса а дорівнює  , То отриманий результат показує, що площа арки циклоїди в три рази більше площі кола.

5.Знайти площу фігури, обмеженою полярною віссю і першим витком спіралі Архімеда

.

Рішення

.

Зауважимо, що точка С перетину першого витка спіралі з полярною віссю віддалена від полюса на відстань  . Тому коло радіуса ОС має площу .

Таким чином, площа фігури, обмеженої полярною віссю і першим витком спіралі Архімеда, дорівнює  площі кола з радіусом, рівним найбільшому з радіус-векторів точок витка (рис. 5). До цього висновку прийшов ще Архімед.

       
 
 рис.5
 
 Мал. 6

6.Знайти площу фігури, обмеженою одним пелюсткою кривої  (Лемніската).

Рішення. Права частина рівняння кривої неотрицательна при значеннях ?, для яких  . Тому перший пелюстка лежить в кутку, де  , Т. Е.  . Отже (рис. 6),

.

Обчислення ДОВЖИНИ ДУГИ ПЛОСКОЇ КРИВИЙ | Обчислення ОБСЯГІВ ТЕЛ


Інтегрування по частинах в певному інтегралі | Заміна змінної в певному інтегралі | невласні інтеграли | приклади | Площ плоских фігур і довгі дуги | приклади | Обчислення обсягу тіла | Обчислення площі поверхні тіла обертання | метод трапецій | Формула Сімпсона |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати