Головна |
1. Обчислити площу фігури, обмеженою прямий у = х і параболою у = 2-х2.
Рішення. Знайдемо абсциси точок перетину прямої з параболою, вирішивши систему рівнянь (рис.2).
|
2. Обчислити площу сегмента кола з підставою чи заввишки h. Радіус кола дорівнює r.
Рішення: Розташуємо осі координат так, як показано на рис. 3 Площа S криволінійної трапеції ABCDE дорівнює.
.
З рис. 3 видно, що , а , Де ?- центральний кут, що спирається на підставу сегмента. отже, . Щоб отримати шукану площу сегмента, треба з площі криволінійної трапеції ABCDE відняти площу прямокутника ABDE.
Таким чином,
Легко помітити, що
.
Підставивши, отримаємо:
.
Ця формула добре відома з елементарної математики і може бути отримана геометричним шляхом.
3. Знайти площу фігури, обмеженою двома гілками кривої
(У-х)2= х3 і прямий х = 1.
Рішення. Зауважимо, що у якнеявна функція від х, визначена лише при х?0 (ліва частина рівняння завжди неотрицательна). Знайдемо рівняння двох гілок кривої:
Очевидно, що при х?0 (рис. 4).
Тому
Зауваження. При обчисленні площі криволінійної трапеції в разі, коли верхня межа задана параметричними рівняннями , , У формулі треба зробити заміну змінної. поклавши . Тоді отримаємо:
|
Де ? і ? - значення параметра t, що відповідають значенням х = а і х = b, т. Е. .
4.Знайти площу фігури, обмеженою однієї аркою циклоїди
і віссю Ох.
Рішення. Арка циклоїди описується при зміні t в межах від 0 до 2?, так як у (0) = у (2?) = 0, а в інших точках зазначеного проміжку у 0. Межі інтегрування дорівнюють відповідно х (0) = 0 і х (2?) = 2?а.
Отже, шукана площа дорівнює:
.
Зробимо підстановку x = a (t-sint), y = a (1-cost), dx = a (1-cost) dt. Коли х пробігає відрізок [0; 2?a], t пробігає відрізок [0; 2?]. Тому
Так як площа кола радіуса а дорівнює , То отриманий результат показує, що площа арки циклоїди в три рази більше площі кола.
5.Знайти площу фігури, обмеженою полярною віссю і першим витком спіралі Архімеда
.
Рішення
.
Зауважимо, що точка С перетину першого витка спіралі з полярною віссю віддалена від полюса на відстань . Тому коло радіуса ОС має площу .
Таким чином, площа фігури, обмеженої полярною віссю і першим витком спіралі Архімеда, дорівнює площі кола з радіусом, рівним найбільшому з радіус-векторів точок витка (рис. 5). До цього висновку прийшов ще Архімед.
|
|
6.Знайти площу фігури, обмеженою одним пелюсткою кривої (Лемніската).
Рішення. Права частина рівняння кривої неотрицательна при значеннях ?, для яких . Тому перший пелюстка лежить в кутку, де , Т. Е. . Отже (рис. 6),
.
Обчислення ДОВЖИНИ ДУГИ ПЛОСКОЇ КРИВИЙ | Обчислення ОБСЯГІВ ТЕЛ
Інтегрування по частинах в певному інтегралі | Заміна змінної в певному інтегралі | невласні інтеграли | приклади | Площ плоских фігур і довгі дуги | приклади | Обчислення обсягу тіла | Обчислення площі поверхні тіла обертання | метод трапецій | Формула Сімпсона |